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Se ora si pone 



(23) K* = log/* 1 + ^ 



f 1 — e 2 ) 



si vede che si tratta di funzione regolare nell'intorno di f* = 0 



(essendo lim / \ = —z \ , 



nonché di ogni altro valore (finito) di f*. Fissata quindi pel logaritmo la 

 determinazione reale in corrispondenza al valore zero di f*, si potrà asse- 

 rire che esso si mantiene reale per tutti i valori reali dell'argomento. 



Immaginando di sostituire per f* il suo valore f — (g>i + «), la K* 

 si presenta come funzione di f regolare nell'intorno di (pi-\-i, e reale su 

 tutta la retta ip = 1. 



Siccome si ha dalle (19) e (23) 



(19') .K(sPi , f— K* — 2 log f* » ■■"*■> 



così si accerta in primo luogo che, colle specificazioni adottate per K* e 

 per log/'*, il secondo membro rappresenta effettivamente quella determina- 

 zione di Kfa ,f — i) (cui ci siamo sempre riferiti) che è reale per f = 1 

 e y>^><Pi, conformemente alla (21). 



Ove si supponga invece e si passi, dall'interno della striscia, 



alla retta limite ip = 1 , la (19'), avuto riguardo alla (22), ci dà senz'altro 



lim Kfa , / — i) = lim K* — 2 log fa — <p) + 2tm . 



Ora limK* seguita ad essere reale anche per /* negativo, sicché, data 

 l'espressione (23) di K* , la differenza 



lim K* — 2 log(9i — cp) 



non è altro che il nucleo reale K(^ . y) (definito dalla (7') per tutti i 

 valori reali dei due argomenti). 



Così in definitiva possiamo completare la (21), scrivendo 



(24) K(9), ,f—i) = Kfa , g>) + 2m per xp = 1 è <p < (f Y . 



8. — Verifica della relazione dispari. 

 Premesso tutto questo relativamente alla K, poniamo 



co 



(25) y{f) = y- j Kfa,f—i) 4 fa) df P^ 



