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d'où 



( l>Y(x , x* , t) 



\ y-i = — 



(2) ) 



{ Jl ~ T>x* 

 Considérons maintenant les 2n équations différentielles quelconques : 



( 3 ) { i = 1 \ ... n 



et posons, en vertu de ces équations: 



où l'on a écrit X,- pour Xi(x , y , *), et de méme pour Y*. 



Prenons la dénvée des deux membres de l'identité (1'); en remar- 



d 



quant que les opérations — et S sont permutables et en utilisant (2), on 

 obtient, après quelques calculs: 



x* , 0 



C'est la formule fondamentale, que nous avions en vue. Elle fournira 

 une identité en x , x* , t, si nous remplacons ~± par X< , ^ par Y t - , 



* p 1 t>* + 4-* VS x * + 1^ Y V ' de meme p° uv les ' et 81 



enfin nous exprimons les y en fonction des a; , x* , au moyen de (2). 



Remarquons qu'en vertu de (1), on pourrait esprimer les x et y en 

 fonction des x* ,y*',t; posons alors: 



Y{x,x\t) = W{x\y\i). 



La formule fondamentale (4) devient, en utilisant (2): 



<« ?.(f^-f^)-?.(f-r-^,,-) + 



où Xi(x* ,y*,l) représente Xi exprimé en fonction des %* , y* , t. 



