3. Théorème de Jacobi généralisé. — Supposons que Y(x ,x x ,t) soit 

 l'intégrale complète de l'équation aux dérivées partielles 



les x x jouent le róde de n constantes arbitraires distinctes, et e(x , — t) 

 repsésente le résultat obtenu en remplacant, dans E(x,y,t), les Vi par 

 — (i = l,...n). Cette fonction Y(x , x x , t) définissant la transformation 

 de contact (2). considérons la formule fondamentale (4), ainsi que les équa- 

 tions canoniques (5); nous avons l'identité en x < x x ,t: 



Mais E(x,y,t) exprimé en fonction des x , x x , t devient 

 w / l>Y(x , x x ,t) \ 



à cause de (2); il en résulte que, dans le premier membre de la relation 

 précédente, l'expression entre parenthèses est identiquement nulle; d'où 



l dx* 



dt 

 dy\ 

 dt 



= 0 

 = 0; 



ce qui est le théorème (direct) de Jacobi ('). Pour généraliser ce théorème, 

 il suffira de supposer qu'on connaisse une fonction Y(x,x x i) telle 'ani 



\l)X 1 ~ÒX n ' 



D (x? ...x*) SOlt dlfferent de zér0 et telle qu'on ait identiquement ( 2 ) 



où xp est une fonction quelconque; autrement dit, il suffira que le premier 

 membre soit exprimable en fonction des 7)V ( a: » et de n régulte 



immédiatement de ce qui précède que 



( l ) On sait, et l'on verrait de mème. que si le premier membre se réduisait à une 

 fonction des x et de t, l'integration du système (5) s'effectuerait an moyen de » qua- 



(») Le théorème réciproque de Jacobi pourrait se retrouver au moyen de la for- 

 mule (4). J 



