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Questi due metodi applicati alle trasformazioni birazionali nello spazio 

 ordinario, conducono a due relazioni distinte fra gli elementi fondamentali. 



La relazione che nasce dal secondo metodo trovasi stabilita nella mia 

 Nota dianzi citata; quella che si ricava col primo metodo costituisce l'og- 

 getto della Nota presente. Ma la sua dimostrazione viene esposta somma- 

 riamente, alcuni sviluppi non potendo qui trovar posto, a causa della loro 

 estensione. 



1. Per applicare al piano il metodo del Cremona, è necessario conoscere 

 la riduzione prodotta da un punto-base r M ^°, sul numero dei punti doppi 

 di un fascio di curve. Quindi, volendo seguire il metodo analogo nello spazio, 

 bisogna trovare la riduzione che sul numero dei punti doppi di un fascio 

 di superficie producono gli elementi multipli della base del fascio stesso. 

 Questa riduzione, sin qui nota soltanto in casi particolari ('), viene data dal 

 teorema seguente, che sarà dimostrato in un altro lavoro: 



* Un fascio di superficie g> dell'ordine n abbia la base costituita da t 

 « punti P| e da r curve Ci. Ogni punto P z sia multiplo (ordinario) secondo 

 «■ l (l^> 1), per ciascuna superfìcie g> e il cono in esso tangente alla super- 

 « ficie medesima vari col variare di questa nel fascio. Così ogni curva C ( - , 

 « d'ordine mi e rango ri, sia multipla (ordinaria) secondo i per ciascuna 

 « superficie g>, e gli i piani tangenti in uno stesso punto di Ci alla superficie 

 « medesima varino col variare di questa nel fascio. Inoltre, ogni curva C t - 

 « passi con h n rami per ciascun punto P ; e si appoggi ad ogni altra curva 

 « Gj(j >lì) in kìj punti. Infine, il fascio dato contenga ò superficie dege- 

 « neri, ciascuna delle quali sia composta da due superficie A e B , che si 



* taglino, fuori della base, secondo una curva , dell'ordine [iz e del ge- 

 li nere 7r§, la quale passi con p?>i rami per ogni punto P^ e si appoggi in 

 « qsi punti ad ogni curva Ci . In tali ipotesi, il numero D dei punti doppi 



* del fascio è somministrato dalla formula: 



D = A(n — l) 3 — V 2(1 — l) 2 (21 + 1) — 



i 



— J_ [2(6i 2 — 3i—l)n — 2(Ai 3 + 'ài 2 — Ai — 1)] Mi + 



i 



-f £ (AP — ài 2 + 1) n + V 2 [_2i 2 (M — 2i) — 3»7 — (l — 2i)] hi + 



i il 



+ £ 2 [2t'»(3; - i) - 3ij - (; - 0] % - 

 — V 2 (Aa 5 4- 3tt 3 - 3) + y Ap m + J_ 2q 5i . 



8 51 5i 



(') Per questi casi veggasi: 1°. Cremona, Preliminari di una teoria geometrica 

 delle superficie, n. 125; 2°, Pieri, Sopra alcuni problemi riguardanti i fasci di curve 

 e di superficie algebriche, Giornale di Bavaglini, voi. XXIV (1886) ; 3°. Guccia, Sur les 



Ekndiconti. 1911, Voi. XX, 1° Sem. 58 



