— 406 — 



Questa formula può essere messa sotto un aspetto molto più semplice, 

 introducendo il genere aritmetico P di una superficie g> del fascio, l'inva- 

 riante di Castelnuovo-Enriques della superficie medesima, e il genere p 

 della curva semplice, che con le curve Ci completa la base del fascio ( 1 ). 

 Infatti, se si ricordano le espressioni di questi tre caratteri in funzione del- 

 l'ordine n delle superficie y e delle caratteristiche de' suoi elementi mul- 

 tipli ( 2 ) si trova facilmente : 



(1) D = 24P — 2Q + 2p — 2t — 2 V -j- J_ r { + 20 — 



i i 



— V 2(4/* s + 3tt 6 — 3) + Y 4p 5l -\- y 2qsi . 

 r s" 8; sì 



2. Ciò premesso, suppongasi di avere due spazi 2 e 2\ fra i punti 

 dei quali abbia luogo una corrispondenza birazionale. 



La base del sistema omaloidico \<p\ formato dalle superficie g> di 2 

 corrispondenti ai piani a! di 2\ risulti costituito da x curve C; , e da e 

 punti P*, di cui s siano semplici (1=1), e i rimanenti l = a — s siano 

 multipli secondo l(l>l). In ogni punto semplice ? 1 le superficie y non 

 abbiano alcun contatto fra loro, e rispetto agli altri elementi fondamentali 

 di 2 si comportino in modo da soddisfare alle medesime condizioni imposte 

 nel n. precedente alle superficie del fascio ivi considerato. 



Ipotesi e notazioni analoghe valgano per gli elementi fondamentali dello 

 spazio 2'. 



Ora nel sistema di superficie \y\ prendasi un fascio (y), il quale cor- 

 sponde in 2 ad un fascio (a) di piani a dello spazio 2'. 



Il numero dei punti doppi del fascio (y) è dato dalla formula (1), 

 tenendo conto delle seguenti proprietà particolari, di cui gode il fascio me- 

 desimo, come appartenente ad un sistema omaloidico. 



1°) Ogni superficie <p è razionale, epperò si ha: 



P = 0: 



2°) La curva (semplice e variabile col fascio (y)), che insieme con 

 le curve fondamentali Ci, completa la base del fascio medesimo, è la curva 

 dello spazio 2, che corrisponde ad una retta di 2', all'asse del fascio (a) 

 di piani, e quindi anche essa è razionale; perciò si ha pure: 



p = 0. 



points doubles d'un faisceau de surfaces algebriques. Comptes rendus (1895); 4°. Segre, 

 Intorno ad un carattere delle superfìcie e delle varietà superiori algebriche. Atti del- 

 l'Acc. delle Scienze di Torino, voi. XXXI (1895). 

 (>) Se questa curva manca è da porre p—\. 



(■) Per queste espressioni si può vedere la mia Nota ricordata in principio. 



