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3°) Ogni superficie y> è rappresentabile punto per punto sul piano a, 

 che le corrisponde in 2'. Essa contiene s punti, ai quali corrispondono sul 



piano a altrettante curve razionali, e possiede ^_ m '<' curve eccezionali, es- 



v 



sendo m\< l'ordine di una curva fondamentale G[t . Quindi il suo invariante 

 Sì è dato dalla formula (*): 



Sì = 10 + s — Y m'r. 



i' 



4°) Infine, il fascio (</>) contiene a' superficie degeneri, poiché ad ogni 

 piano del fascio (a'), che passi per uno dei a' punti fondamentali P { 'r di 2' 

 corrisponde in 2 una superficie composta dalla superficie A corrispondente 

 al Punto Pjf e da una superficie B, che con la precedente costituisce una 

 superficie <p. 



Questa superficie B è rappresentabile punto per punto sul piano a' e 

 le sue sezioni piane hanno per immagini, sopra a, curve, che posseggono 

 in Y\i un punto multiplo secondo l'. Quindi alle direzioni uscenti da questo 

 punto e situate sul piano a corrispondono biunivocamente sulla superficie B 

 i punti di una curva razionale dell'ordine V . Questa curva è l'intersezione 

 fuori delle curve fondamentali C,, delle due superficie A e B. Si ha 

 pertanto : 



fi5 = i' ni = 0 . 



Inoltre, ad un punto fondamentale P; di 2 corrisponde in 2' una 

 superficie A', la quale possiede nel punto ¥[> dianzi considerato, un punto 

 di moltiplicità pgj, in modo che essa viene tagliata dal piano a' secondo 

 una curva avente in Y\i un punto di eguale moltiplicità. Così sul piano a' 

 restano determinate psi direzioni uscenti da Pjr, alle quali corrispondono 

 altrettanti punti M sulla curva J$ . Ma quelle direzioni sono tangenti in P^ 

 alla superficie A', ai punti della quale corrispondono i punti infinitamente 

 vicini a P ; ; dunque questi punti M di J$ sono infinitamente vicini a P; . 

 Ciò dimostra che la curva Ji ha in Pj un punto multiplo secondo fu ; ep- 

 però si conclude che questa curva Jz possiede in ogni punto P* di 2 un 

 punto di moltiplicità eguale a quella che ha in P^ la superficie di 2' cor- 

 rispondente a quel punto P^. 



Infine, in modo analogo si trova che la medesima curva J$ si appoggia 

 ad ogni curva d di 2 in un numero qsi di punti eguale alla moltiplicità 

 di V[r per la superficie di 2' corrispondente a quella curva C, . 



Ora è noto che la Jacobiana del sistema omaloidico delle superficie y>' 

 di 2', corrispondenti ai piani « di 2, è costituita dalle superficie di 2\ 



i 1 ) Castelnuovo-Enriques, Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria delle 

 superficie algebriche, nn. 5 e 21. Annali di Matematica, tomo VI, serie III (1900). 



