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esiste , ne segue che dell'equazione (3) esiste una e una sola soluzione u{x), 

 finita e continua per x^a eccettuato al più un numero finito di punti. 

 Questa soluzione anzi è continua dappertutto e tale che lim u{x) esiste. 



Supponiamo ora che le ipotesi a) b) c) valgano. Inoltre si supponga che 

 possa trovarsi una costante M tale che 



(D lf(x) <m\ 



(I") ^\(f\x)\ <M £ y^x^a 



(V") x 2 \G i0 (x,y)\<M 

 (p) y*|Goi(*,y)l<M 



la conseguenza di queste ipotesi l'equazione (4) diviene un'equazione 

 già da me trattata 0). In questo caso in virtù della (I') l'integrale 



ri én 



diverrà infinito quando z s'avvicinerà a 0. Perciò se (i) G , < 0 , si 

 ha che esiste una soluzione continua nell' intervallo 0 ^ * ^ ; e se (ti) 

 G /Hj >0 , si ha che esiste un numero infinito di soluzioni continue 

 nello stesso intervallo, le quali possono scriversi nella forma 



dove C è una costante arbitraria Si ha inoltre che ogni soluzione la quale 



sia continua, eccetto in un numero finito di punti nel tratto 0^3^-, 



deve essere finita e continua quando z = 0 ( 3 ). 

 Tornando ancora all'equazione (3) avremo il 

 Teorema 2. Se sussistono le ipotesi a) b) c) ed inoltre si ha 



I f( x ) < M ) 

 x I 



x 2 \y(x)\ <M ^y^ x ^ a 



x 2 |G 10 (x,j/)|<Ml 



(•) Il manoscritto fu presentato per la pubblicazione nel Trans. American Math. 

 Soc. Per il teorema si veda Bull. American Math. Soc. 2* series, voi. XVI, n. 3, pag. 134. 



( 2 ) Loc. cit. , r 

 (») Loc. cit., pag. 3. Per il teorema si veda loc. cit,, Bull, American Math^Soc. 

 pag. 135, aggiungendo alla conclusione del teorema le parole « except possibly at-«-*». 



