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Supposte verificate le ipotesi a), b), c), si supponga inoltre che si abbia 



x{\og xYW{x)\ \ y^x^a. 



a?(log o;) 2 lG 1 o(^,2/)|<M 

 2/ (log y) 2 |G 01 («,*/)|<M 



Allora vengono soddisfatte nell'equazione (5) le ipotesi del teorema (2), e 



. , - ni ^/n p ftioo ooì>0 una o un numero munito ri- 

 si ha nei due casi G(qo , oo)< 0 e U(oo , oo;^u un 



spettivamente di funzioni continue che soddisfanno 1 equazione (5) e tali che 

 ciascuna s'avvicina ad un certo limite quando diviene intuita la vanabi le. 

 Inoltre, siccome le proprietà della continuità e del possedere un valore deter- 

 minato nel punto infinito si conservano con una trasformazione x = e si 

 ha che tutte le soluzioni, se sono continue fuorché in un numero finito di 

 punti, devono essere continue (cioè anche finite) nell'intorno del punto , = 0, 

 l tali che ciascuna s'avvicini ad un certo limite quando diviene infinita la 



variabile. Si ha dunque il _ . 



Teorema 3. Se sussistono le ipotesi a) b) c) e inoltre si ha 



<M ) 



5C (loga-) 2 |G 10 («,t/)|<M 



y(logyY\Goi(x,y)\<~M- 



seguono le conclusioni del teorema 2. . 



5 Facendosi sull'equazione (3) la stessa sostituzione x = e> può 

 ampliarsi ancora la generalità delle funzioni <p(x) , G(* , y), per mezzo del 

 Tori (3). Le ipotesi da aggiungersi alle a) b) c) divengono in questo caso 



> <m) 



ajjlog «(log log xf (p\x)\ < M J y ^ x ^ a . 



sc|log «(log log xf Gio{z , V)\< M 



2/ |log «/(log log yY G »^ x i y)l < M 



Procedendo così di seguito queste condizioni divengono 



1 f( x <M 

 - /(#) 



x 



x |log « log 2 («) • • . log M (^) (log^W SP'(*)I < M j ' y ^ * ^ «■ 



« |10g£ 10g 2 («) • • • l0g"(^) (loTW <M* > V) I < M 



y |log 2/ log%) • • • log"(y) (l°g n+I (2/))* ' f)l< M 



