- 415 — 



In modo analogo procedendo per mezzo della sostituzione g = e *« può 

 ampliarsi la generalità delle funzioni <p{s) , Q(z , rj) nell'equazione 



Ossia può farsi una trasformazione dapprima dall'equazione (3) all'equazione 



(6) per mezzo della sostituzione 



_ 1 



2 



e poscia dall'equazione (6) all'equazione (3) per mezzo della sostituzione 



s = e ~ Xl ; 



e così di seguito. 



6. È interessante notare che nel caso del limite infinito si può avere 

 un numero infinito di soluzioni, come dimostrano i teoremi (2) (3), mentre 

 resta finito e continuo il nucleo G(x , y)lf{y) dell'equazione. Per altro, può 

 limitarsi in qualche caso definitivamente il numero delle soluzioni. 



Se valgono le ipotesi a) b), e la ipotesi aggiunta nel teorema 1, la 

 (4) può scriversi nella forma 



(7) u(z) = 9 (f) + f /fa) G<* , v) u{rj) drj , 



ove le funzioni g>(g) , G(z , rj) colle derivate del primo ordine sono continue, 

 mentre si ha f(z) ]> 0 quando si ha z > 0 , e G(z , ^) =j= 0 nell' intorno 

 del punto z = 0 , rj = 0. Ma in questo caso ogni soluzione se è continua, 

 fuorché in un numero finito di punti, deve essere continua (cioè anche finita) 

 dappertutto nell'intorno del punto z = 0( 1 ). Si ha dunque, partendo dal 

 teorema 1, il 



Teorema 4. Se valgono le ipotesi a) b) e se inoltre lim 



W—<*> 



esiste, segue che nel tratto x = a, (a essendo una costante sufficientemente 

 grande) esiste una sola soluzione dell' equazione (3) continua per x = a, 

 fuorché in un numero finito di punti. Questa soluzione anzi è continua 

 per x = a, e tale che s'avvicina ad un valore determinato quando di- 

 viene infinita la variabile x . 



(') Bull. American Math. Soc. 2 a series, voi. XVI, n. 3, pag. 135, aggiungendo alla 

 conclusione del teorema le parole « except possibly at x~h >:. 



