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soggette alle medesime condizioni, e sia (h) l'insieme delle relative succes- 

 sioni di coefficienti h l , h 2 , ... , h„ , ... 



Il sistema (/?) si dirà associato ad {a) quando siano verificate le con- 

 dizioni : 



(3) 



( 0 per m =j= n 

 \\ » m — n , 



(m , n = 1 , 2 , 3 , ...) 



Le successioni associate, di cui i sistemi ortogonali normali costituiscono 

 un caso particolare tanto importante e in questi ultimi tempi tanto frequen- 

 temente considerato, presentano interessanti applicazioni nelle questioni di 

 calcolo funzionale, in ispecie nello studio delle operazioni integrali. Pro- 

 ponendomi di discorrerne più diffusamente in altro lavoro, mi limito qui a 

 farne uso in un caso speciale che dà esempio assai perspicuo delle due specie 

 di degenerescenza che possono presentare le operazioni lineari od omografìe 

 in uno spazio ad un numero infinito di dimensioni. 



3. Consideriamo la funzione di due variabili : 



(4) 



co 



K(x ,y) = J_ » n (x) {c'nPniy) + <?»/Wy)) 



71=1 



Qui le variabili reali x[, y variano nell'intervallo J {a<x<b, 

 a<y<b); le costanti c n , che si supporrano diverse da zero, e le c' n sono 

 prese in modo da verificare le tre seguenti condizioni: 



a) esse rendano la serie del secondo membro di (4) convergente uni- 

 formemente rispetto ad x ed y in tutto l'intervallo J; 



b) se fci , le, , ... appartiene a (k), vi appartengano anche dki , c»A», ... , 

 e C\k\ i c^k% , ... , 



e) la successione ° l ° 2 "' n (» = 1 , 2 , ...) appartenga a (k). 

 C\ Ci ... c n 



Mediante la funzione (4), assunta come nucleo, si possono definire le 

 due operazioni integrali associate : 



(5) k{cp) = Ck(x , y) <p(y) cly , ~A(g>) = J \oo , y) g>{x) dx 



J a "~ a 



per ogni funzione integrabile <p{x) data nell' intervallo ab : in particolare, 

 per ogni elemento di S a o di Sp. 



4. Applicando le A agli elementi di («), si ottiene: 



(6) 



A(a„) = Cn CC„ + C n -ì 



