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applicando la A" agli elementi di (/?), si ottiene : 



(7) A(/?„) = C' n P„ + Cn Pn+i • 



Le (6) e (7) sono le equazioni di definizione di due omografie, rispet- 

 tivamente nello spazio S a e nello spazio Sp. 

 Se si applica la A ad un elemento 



(n) 



di S a , si ottiene: 



(8) A(y) = y (e» k n + <? w A n +i) a„ ; 



(n) 



se si applica la A ad un elemento 



in) 



di Sp, si ottiene: 



(9) A(V>) = J_ (C' n h + C n -i h-i) fin 



(«) 



e per l' ipotesi b) del § 3, A(y) ed A(V) appartengono rispettivamente ad 

 S a ed Sp . 



5. L'operazione A ammette radici nello spazio S a . Infatti, se poniamo 



(10) c' n q n + c n q n +i = 0 = 1 , 2 , 3 , ...) 

 ne viene da (8) che l'elemento 



oo 0 = q l a ì -\ r q 2 a 2 -\ \- q n a n -j- " - , 



dà 



(11) A(« o ) = 0; 

 e poiché si ha dalle (10): 



(12) qn = { _ 1)n - lq /lA^j=L, 



ne segue per l'ipotesi e) del § 3, che questa radice « 0 appartiene effetti- 

 vamente ad S a . 



Nel caso in cui il sistema (a) sia tale che un elemento (1) di S a non 

 possa essere nullo se non ne sono nulli tutti i coefficienti k„, la radice <a 9 

 è unica per A in S«, all' infuori del moltiplicatore costante q x . 



6. Eisolvendo il sistema 



_ LO per n =f= m 



(13) ^/W+^+i — | 1 ^ n = m ^ 



