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Ma per l'ipotesi c) del § 3, è 



lim g, 



n 



C\ C 2 ••• C n _] 

 Ci Ci ... C n —i 



= 0: 



e quindi, per l'ipotesi b) del medesimo §, è anche 



lim g, 



n 



Ci Ci ... C n —i 



= 0. 



^_q n g n = o- 



Talché l'operazione A , applicata allo spazio Sp, non riproduce elementi ar- 

 bitrari di questo spazio, ma solo elementi tali che i loro coefficienti gi,g t ,... 

 soddisfino alla relazione (16). Secondo una nomenclatura geometrica che ho 

 usata in varie circostanze, gli elementi A(i//) appartengono ad un determi- 

 nato piano funzionale. Per il suo carattere, la proprietà degli elementi A(i//) 

 è logicamente analoga alla divisibilità ( 1 ). 



D'altra parte, la A non ammette necessariamente radici in Sp. Così, 

 se il sistema {§) è tale che un elemento (2) di Sp non possa essere nullo 

 se non sono nulli tutti i coefficienti h n , l'operazione A è priva di radici 

 non identicamente nulle, poiché l'equazione 



che dà tutte le h„ uguali a zero. 



9. Risulta dal § precedente che l'omografia A dà esempio di quella 

 degenerescenza che ho detta di seconda classe: non ammette radici in Sp, 

 ma applicata ad non riproduce tutto lo spazio Sp, bensì solo una parte 

 di esso. 



10. Nel caso che uno dei coefficienti c' n sia nullo, per esempio c[ = 0, 

 i due fatti ora notati si presentano nel modo più semplice. Infatti ai è ra- 

 dice per l'operazione A, mentre l'operazione A è tale da produrre quei soli 

 elementi di Sp in cui manca il termine in fii . 



11. Per brevità di discorso si è ammessa la continuità della (a) e 

 delle (/?) e la convergenza uniforme delle serie di S a ed Sp . Non vi è diffi- 

 coltà a porre condizioni meno restrittive; basta la semplice integrabilità, 

 nel senso di Lebesgue, per le funzioni, e la integrabilità termine a termine 

 per le serie; si lasciano al lettore le facili modificazioni. 



( L ) V. la mia Nota nei Rendiconti dell'Accad. di Bologna, 8 maggio 1910. 



A(V) = 0 



porta al sistema 



c'n hn + °n-\ K-i = 0 , 



(»=1,2,...) 



