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12. In un recente lavoro ('), sintesi accurata e ricca di interessanti 

 considerazioni sulla teoria delle matrici infinite secondo le idee di Hilbert, 

 i signori Hellinger e Toeplitz dànno alcune proposizioni di carattere for- 

 male ( 2 ) relative alle equazioni simboliche 



dove a è una matrice data, 3 è la matrice unità, 96 ed ìj sono matrici 

 da determinarsi ; tutte da supporsi limitate (beschrànkt) nel senso di Hilbert. 

 Quando esistono tali matrici 9©, ÌJ, la prima si dice reciproca a destra, 

 la seconda reciproca a sinistra di a. Gli autori citati osservano che mentre 

 per le matrici rinite sono possibili solo i due casi seguenti: 



1) esiste un'unica reciproca a destra e un'unica reciproca a sinistra, 



fra loro coincidenti; 



2) non esiste reciproca nè a destra, nè a sinistra ; 



invece per le matrici finite limitate sono possibili anche gli altri due casi: 



3) la reciproca a destra è indeterminata, la reciproca a sinistra non 



esiste ; 



4) la reciproca a sinistra è indeterminata, la reciproca a destra non 



GSistfì. 



Ora, i due casi 3) e 4), particolari alle matrici infinite, corrispondono 

 precisamente alla degenerescenza di prima e di seconda classe che ho notate 

 nelle omografie di uno spazio ad infinite dimensioni. A persuadersene, basta 

 osservare che in uno spazio S a la cui base sia la successione «i,« 2 ,. 

 un'omografia A è definita da 



A(«„) = «,»«, + a 2n CC 2 -j- ••• + Chn« n + •- I 



le si può fare corrispondere la matrice 



(In • • • ^in • • • 



CLìi • • • Q-ìn • • • 



e alla somma ed al prodotto di due operazioni corrispondono, come si verifica 

 subito, la somma ed il prodotto delle matrici corrispondenti. 



Se allora siamo nel caso 3) di Hellinger e Toeplitz, abbiamo, indicando 

 con 1 l'operazione identica, almeno due distinte operazioni X , X r tali che 



AX = 1 , AX' = 1 



onde 



A(X - X') = 0 ; 



(') Grundlagen fur eine Theorie der unendlichen Matnzen [Matti. Ann., Bd. 69, 

 pag. 289, 1910). 



( 3 ) Loc. cii, pp. 311-312. 



