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essendo 



Cu = y_h "5jt fl >& ^ ^ hs • 

 Per rappresentare questo scriviamo le sostituzioni 



(1) 



(3) A = 



ed avremo 





• dm \ 







&ì\ 1 #22 ì • 



■ Q>tn \ 



) i 



(2) 



B = 



0"n\ i CL n % , • 



• Q>nn } 







^■11 1 ^l* i • 



• • ^ln \ 







^2L l ^22 1 • 





(4) 



C = 













• by n "\ 



bn , $22 ? • 



■ ■ bìn ( 



i #n2 > ■ 



• • b n n l 



Cu , C l2 , • 



•■ C\ n ì 



<?21 ì Cit , • 



• ■ C tn [ 



£nl i Cnì • 



v 



C = A^B, 



ove il secondo membro denota il prodotto delle tre sostituzioni ^B. 



Ne segue che la condizione necessaria e sufficiente per la permutabilità 

 di seconda specie delle funzioni (I) e (II) è espressa da 

 ( 5 ) A^B = B^A. 



2. Ciò premesso osserviamo che la relazione precedente è equivalente 

 all'altra 



(5') {Ak) (^B) = (AB) (A A.) , 



dunque, condizione necessaria e sufficiente per la permutabilità di seconda 

 specie di Ve® è che le sostituzioni Ak e AB siano fra loro permutabili. 

 Nella ipotesi in cui B si riduca all'identità, cioè 



, 1,0,.. .0 \ 

 -g _ | 0 , 1 , ... 0 ( = 1 



( 0 , 0 , ... 1 ) 



e quindi 



(6) ®{x ,y)=^_ifi{x) <?i{y) 



la condizione precedente si riduce a 



kA = Ak , 



ossia che le sostituzioni A e k siano fra loro permutabili, mentre se 

 A = 1 essa diviene 



AB = BA , 



ossia che siano permutabili le sostituzioni B ed A. 



