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3. Ho studiato la questione delle permutabilità delle sostituzioni nei 

 Preliminari della seconda parte della mia Memoria : Sui fondamenti della 

 teoria delle equazioni differenziali lineari ('). 



Rimando quindi alla suddetta Memoria per la trattazione del problema 

 di trovare tutte le sostituzioni permutabili con una data sostituzione. Perciò 

 nota la funzione (II) potremo avere tutte le funzioni della forma (I) 

 permutabili di 2 a specie con essa. 



4. Nella Memoria adesso citata (*) ho dimostrato il teorema seguente : 

 La condizione necessaria e sufficiente affinchè le sostituzioni permutabili 

 con una data sostituzione siano permutabili fra loro è che i divisori ele- 

 mentari della sostituzione data siano potenze di basi tutte differenti fra 

 loro. Quando questa condizione è verificata ho chiamato la sostituzione ele- 

 mentare. 



Ne segue che la condizione necessaria e sufficiente affinchè tutte le 

 funzioni (I) permutabili colla (II) siano permutabili fra loro è che il 

 prodotto delle sostituzioni AB sia elementare. 



5. Vogliamo dare subito una applicazione dei precedenti resultati ad 

 una questione di equazioni integrali. 



Supponiamo AB elementare e siano F 0 , Fi , F 8 , ... ¥ m , m-\-\ fun- 

 zioni della forma (I) permutabili di 2 a specie con (II): esse saranno per- 

 mutabili fra loro. 



Proponiamoci il problema di trovare una funzione F, avente la forma 

 (I) e permutabile con (II), la quale verifichi l'equazione integrale di grado m 



(III) P 0 F m + 1\ F*" 1 + F 2 F m-i + - -f F m _i F + F m = 0 . 

 Posto 



F » = Zi È a f m Uv), 

 i i 



«il 





(A) 



... a\; 





' M 22 ' 



- m 





' w n2 ' 



... a ih) 



nn 



dovremo avere 



(Illa) MA 0 ) (Ak) m + (Aky) (Ak) m ~ l + (Ak,) (AA.) m -* -j f- 



+ (^A m _ 1 )(^A) + ^A m = 0. 



(') Memorie della Società Italiana delle Scienze (detta dei XL), ser. Ili, tomo XII. 

 (') Preliminari, § 6. 



