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ove 



l ( *21 ) fÌ2Z , ••• foni \ __ y£-\ 

 t*nl i f^n2 ■> ••• finn \ 



e Sì(x , y) è una funzione arbitraria. Prendendo dunque la funzione più ge- 

 nerale della forma (I) permutabile di 2 a specie con (II), ottenuta colla 

 regola delle sostituzioni permutabili, e aggiungendovi la (11) si otterrà la 

 funzione più generale *P(# , y) permutabile con (II). 



7. Ritornando alla equazione integrale (III) di grado m, osserviamo 

 che, se alla soluzione F, avente la forma (I), aggiungiamo la funzione 0 

 otterremo sempre, in virtù delle relazioni (10) e (10'), una funzione che sod- 

 disfa l'equazione integrale stessa, ed avremo così la funzione più generale 

 permutabile con la (II) che vi soddisfa. 



8. Se prendiamo 



fi(x) = <pi(x) (£==1,2, ... n) 



e supponiamo che queste funzioni siano normalizzate, sarà A—1q 



<%,*/) = 7.y s b is fi(x) f s (y) , 

 i i 



Y(x,y) = 2_. aufi{x)f t (y). 

 i i 



Quando le funzioni A > A > ... f n fanno parte di un sistema normalizzato 

 A, A, — A, (essendo N>m) otterremo delle funzioni 0 che verificano 

 le (10) e (10') prendendo 



N N 



ove le q is sono costanti arbitrarie. È facile estendere il resultato al caso 

 N = oo. 



9. Mi sono permesso di presentare le precedenti osservazioni in occa- 

 sione della pubblicazione dei resultati eleganti e di notevole interesse do- 

 vuti al prof. Sinigaglia. 



Mi sembra che, ponendo in luce il collegamento della questione delle 

 funzioni permutabili di 2 a specie con quella della permutabilità delle sosti- 

 tuzioni, si riconosca la vera natura del problema e si possa penetrare nella 

 sua intima essenza. Nel tempo stesso possono così anche ottenersi varie 

 estensioni e delle applicazioni del problema medesimo come abbiamo veduto 

 nel § 5. 



Vi è poi da osservare che i metodi che servono per le funzioni permu- 

 tabili di l a specie sono diversi da questo applicabili alle funzioni permutabili 

 di 2 a specie. 



