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il corrispondente sviluppo in serie di funzioni ortogonali, per un conveniente 

 aggruppamento dei suoi termini, è convergente in tutto il campo, eccettuato 

 al più un insieme di punti di misura nulla, ed ancora che questo sviluppo, 

 così modificato, moltiplicato per una funzione sommabile (cioè integrabile 

 nel senso di Lebesgue) insieme al suo quadrato, è integrabile termine a 

 termine; sicché, supposta soddisfatta anche l'altra delle due condizioni di 

 esistenza, esso sviluppo rappresenterà sempre nel campo che si consi- 

 dera (eccettuati al più i punti di un insieme di misura nulla) una solu- 

 zione dell'equazione integrale data. In questo modo si ha una rappresen- 

 tazione analitica della soluzione di un'equazione integrale di l a specie, tutte 

 le volte che essa soluzione esiste. L'indeterminazione dei valori di questa 

 soluzione in un insieme di punti di misura nulla, dipende evidentemente 

 dalla natura stessa del problema ; anzi si possono fissare ad arbitrio in questi 

 punti, quando si presentano, i valori della soluzione. La dimostrazione di 

 questo teorema rappresenta nello stesso tempo una nuova dimostrazione della 

 sufficienza delle condizioni di esistenza di una soluzione delle equazioni in- 

 tegrali di l a specie. È per questa ragione che nella presente Nota presup- 

 pongo solamente la conoscenza del teorema di Weyl e della teoria delle 

 funzioni ortogonali di Schmidt. 



È importante osservare che, se il nucleo dell'equazione integrale non 

 ha discontinuità alcuna nel suo campo di variabilità, le corrispondenti fun- 

 zioni ortogonali non avranno discontinuità; e quindi, poiché, in virtù del 

 teorema di Weyl, la serie che rappresenta la soluzione, modificata nel modo 

 anzidetto, è equicon vergente in qualunque campo che escluda i punti di 

 indeterminazione (i quali formano, come si è detto, un insieme di misura 

 nulla) con segmenti che li contengano nel loro interno (convergente unifor- 

 memente in generale), ne segue che le discontinuità della soluzione della 

 equazione integrale potranno presentarsi al più nei punti di questo insieme 

 di misura nulla; per modo che essa soluzione sarà certamente integrabile 

 nel senso di Kiemann; e quindi i risultati stessi devono potersi dimostrare 

 senza ricorrere al concetto di integrale di Lebesgue. La medesima osserva- 

 zione può farsi nel caso in cui il nucleo ha nel suo campo di variabilità 

 un numero finito di punti e di linee di discontinuità; e non è escluso che 

 essa possa ripetersi in casi nei quali il nucleo, pur avendo un numero infi- 

 nito di punti e di linee di discontinuità, sia integrabile nel senso di Kie- 

 mann ( 1 ). 



In fine della presente Nota dò poi un metodo per ricondurre la risolu- 

 zione di un'equazione integrale di l a specie a nucleo non simmetrico, alla 

 risoluzione di un'equazione pure di l a specie a nucleo simmetrico. 



(') Tale è ad es. il caso di uua funzióne che abbia un numero infinito di rette di 

 discontinuità parallele ad uno dei due assi, supposto che i punti di intersezione di queste 

 rette con l'altro asse formino un insieme di misura nulla. 



Rendiconti. 1911, Voi. XX, 1° Sem. 



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