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1. Il teorema di Weyl si può così enunciare: Se 



A(s) , A(s) , - 



è una serie di funzioni sommabili (integrabili nel senso di Lebesgue) nel 

 campo ri, insieme ai loro quadrati, la quale sia convergente in media, la 

 quale cioè soddisfaccia alla condizione: 



lim | b \f P (s)-f q (s)\*ds = Q; 

 indicando con s m il limite superiore dei valori dell'espressione: 



C\f m (s)-f m + P (s)\* ds '> 03 = 1,2,...), 



*J a 



ed estraendo dalla serie delle s m una qualsiasi serie convergente: 



f n, + f « 2 H ' 



si avrà che la corrispondente serie di funzioni: 



(1) Al l/»s! — 



convergerà, secondo una locuzione introdotta da Weyl stesso, uniformemente 

 in generale nel campo ri, ossia, indicando con ó una quantità positiva ad 

 arbitrio, la serie (1) convergerà in ugual grado in un campo B 8 , facente 

 parte di ri, e di cui la misura non è inferiore a b — a — à, verso una 

 funzione f(s). La funzione f(s) sarà così determinata nel campo ab, astra- 

 zione fatta al più per i punti di un insieme di misura nulla; ed ancora la 

 funzione f{s) sarà sommabile insieme al suo quadrato e si avrà: 



(2) 



lim f \f(s)-f P (s)\*ds = Q 



Importa aggiungere che, in virtù della (2), qualunque altra serie con- 

 vergente uniformemente in generale nel campo ab , che si può trarre dalla 

 serie data f t (s) , f t (s) , ••• convergerà sempre verso la funzione /(s); e con- 

 vergerà pure verso la funzione />(*)_ in un certo campo «/J, contenuto in ab, 

 qualunque serie convergente in uff, che si può trarre dalla data. 



2. Sia K(s , t) una funzione sommabile insieme al suo quadrato nel 

 campo a<.s<-b , a^t^b. 



