— 531 — 



In virtù della teoria di Schmidt ('), esisterà una serie finita od infinita 

 (numerabile) di coppie di funzioni ortogonali: 



SPi(«) , fi(s) ; cp 2 (s) , ip z {s) ; ... 

 ed una corrispondente serie di costanti positive: 



X l , X 2 , ... , 



che avrà il solo punto limite X — oo, se sarà infinita, per le quali si abbia : 



(fì {§) = X i f K(s , t) ìpi(t) dt , 



yji{s) = Xi f K(t , s) g> t {t) dt . 



J a 



Ciò premesso, si consideri l'equazione integrale di l a specie: 

 (3) 9{s)= C 'k(s , t) h{t) dt ; 



e, supposto che essa ammetta una soluzione h(t), si ponga: 

 = f ^(0 dt= f Ck{t , 0 tfó = 



-'a J a J a 



= Ch(t) dt Pk(t , t) (p,(T) dx = ^- Ch{t) Vv(0 dt . 

 Se il quadrato di h(t) è sommabile nel campo ab, si avrà: 



o a(o — y „ ^ a, ^(i) ^ = 



•J a \ 1 ; 



= f 6 )^)} 8 ^+Zv4<- 2 Ì^^ f\(t)ifJ,{t)dt== 



Ja l 1 -'a 



Quindi sene ^] X*d\ dovrà essere convergente ( 2 ). 

 i 



Supposto in generale che il nucleo K(s . t) non sia chiuso, indichiamo con 



(4) 6,(8) , 0 2 (s) , ... 



( 1 ) Zur Theorie der linearen uni nichtlinearen Integralgleichungen. Math. An- 

 nalen, Bd. LXIII, 1907. 



( a ) Cfr. il § 2, pag. 195 della seconda delle mie citate Note. 



