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le soluzioni effettive (') dell'equazione : 



(5) CK{s,t)6 i (s)ds = 0. 



Nell'ipotesi sempre che l'equazione (3) ammetta una soluzione, si deve 

 necessariamente avere ( 2 ) : 



(6) \ b g{s) Ot{s) ds = Ch{t) dt f "k{s , t) 6 t (t) ds = 0. 



3. Ora si supponga la serie ^_ d] convergente. Posto: 



i 



fp( s ) = jL ^ ^ VM S ) , 

 1 



sarà, per q>p, 



C\fp(s) - A(«) l 2 = fi È, ^ a, ^( S )f ^ = Xs < *I ; 



e quindi, in virtù dell'ipotesi fatta, 



lim C\f P (s) — f g (s)\*ds = 0. 



\q=ao J a 



Si avrà inoltre: 



00 



Scelto l' insieme f„, , , - io modo che, come si può sempre fare, 

 la serie 



£ », + *n 2 + '•• 



sia convergente, si consideri la funzione f(s) verso la quale, in virtù del 

 teorema di Weyl, converge uniformemente nel campo Bs {à essendo data 

 ad arbitrio) la corrispondente serie di funzioni: 



/»•,(*) . , - 



i 1 ) Cfr. Lanricella, Sopra gli sviluppi in serie di funzioni ortogonali. Rendiconti 

 del Circolo Mat. di Palermo, t. XXIX, 1910. 



( a ) Questa condizione necessaria è contenuta, come dimostrai al § 3 (pag. 73) della 

 terza delle mie citate Note, nella condizione necessaria stabilita al § 3, (pag. 780) della 

 mia prima Nota. 



