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la serie al secondo membro della (7) è equiconvergente in tutto il campo ab; 

 sicché potremo scrivere per un indice qualsiasi: 



e così si avrà 



£gAt) gy(*) dt = t, ds ^ cp^t) *fr{t) di = d v . ; 



\\^t))g{t)-gMdt = Q, 



J a 



qualunque sia l'indice fi. Questo significa (>) che la funzione 6(s) = g(s)-- 

 — 9l (s) è soluzione dell'equazione (5). Ora si ha per una soluzione 0,(s) 

 qualsiasi dell'equazione (5): 



f dt= £ v ^ 9>v(0 & = 0 ; 



per cui si avrà in particolare: 



Cd(t) g,{t) dt = 0. 



J a 



Ciò premesso, supponiamo che la funzione g(s) soddisfaccia alla con- 

 dizione (6). Si avrà: 



f 0{t).g(t)dt = 0; 



-'a 



e quindi: 



Si avrà dunque in tutto il campo ab, escluso al più un insieme di 

 punti di misura nulla: 



{\{t,s) f(s) ds = g{t). 



J a 



4. Nel caso in cui il nucleo K(s , t) non è chiuso, se x (f) è la funzione 

 più generale del campo ab, per la quale la serie: 



è integrabile termine a termine nel campo Tb , la soluzione più generale 

 dell'equazione: 



Pk(s, *)<?(*) dt = ° 



(>) Schmidt, loc. citi, pag. 464. 



