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sarà data da 



e{t) = %{t) - ^ xp^t) ( \{r) xpo{r) dr; 



J a 



e quindi la soluzione più generale dell'equazione (3) sarà data da: 



Hs) = f(s) + q(s) . 



Osserviamo che si può scrivere: 



ZOO = M*) + - f ni (s)[ + \f n3 (s) - Ms)\ + •■; , 



ossia: 



(8) f(s) = Y v d H li *p,(s) -f f, d, X, f,(s) + - 



^Riepilogando si ha così il seguente teorema: Condizione necessaria e 

 sufficiente affinchè l'equazione integrale (3) ammetta una soluzione somma- 

 bile insieme al suo quadrato nel campo ab, è che la funzione data g(s) 

 sia tale che la serie T v l\ d\ converga e che inoltre, nel caso in cui il 

 nucleo K(s , t) non è chiuso, essa g{s) soddisfaccia alla condizione (6). 

 Tutte le volte che queste condizioni sono soddisfatte, i termini della serie 

 d^ li ìpi(s) si possono aggruppare ordinatamente in modo che essa ri- 

 sulti convergente uniformemente in generale in tutto il campo ab, e la 

 somma f(s) di questa serie, così modificata, sarà una soluzione dell'equa- 

 zione (3). La soluzione più generale di questa equazione si otterrà aggiun- 

 gendo alla f(s) l'espressione q(s). 



5. Osserviamo che la serie Xv ^ A„ ip s (s) in tutti quei punti nei quali 

 è convergente, rappresenta sempre la soluzione f(s) dell'equazione (3). 

 Infatti ciò è evidente se il punto s è di quelli nei quali la serie (8) è con- 

 vergente uniformemente in generale, ossia se il punto s è di quelli nei quali 

 la f(s) è determinata. Se il punto s fa parte del gruppo di misura nulla, 

 nel quale la f(s) non è determinata, basterà prendere per valore di f(s) 

 in tale punto il valore della somma y v d„ L, ip s (s) . 



6. Dimostriamo ora che l'equazione integrale (3) a nucleo non simme- 

 trico equivale sempre all'equazione integrale a nucleo simmetrico : 



(3)' 9i(r)= f b K(s,t)h{t)dt, 



J a 



dove: 



(9) 9i(r) = f K(s , r) g{s) ds , K(r , t) = C 'k(s , r) K(s , t) ds . 



J a J a 



(') Cfr. Lauricella, la prima delle citate Note, § 6, pag. 482. 



