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Infatti, moltiplicando i membri della (3) per K(s , r) ed integrando a 

 tutto il campo ab , si ha ovviamente la (3)' ; ossia se h(t) è una soluzione 

 dell'equazione (3), soddisferà all'equazione (3)'. 



Viceversa sia h(t) una soluzione dell'equazione (3) r . Tenendo conto delle 



(9), si avrà: 



£k(s , r) | g(s) -£Ms > D W) dt^ds = 0; 



e perciò l'espressione: 



8(s) = g(s)- \ h K(s,t)h(t) 



sarà una soluzione dell'equazione (5). Se il nucleo K(s , t) è chiuso, dovrà 

 quindi aversi: 



(10) 9(s)= f*K{s,t)h(t)dt 



in tutto il campo ab, esclusi al più i punti di un insieme di misura nulla. 



Se il nucleo non è chiuso, si rammenti che la g{s) allora deve soddi- 

 sfare alle condizioni (6); per cui si avrà in particolare: 



\\{s).6{s) ds = 0; 



•J a 



e poiché: 



j b d(s) ds£K(s , t) h(t) dt - £h(t) dtj a K(s , t) . 6(s) ds = 0, 

 risulterà : 



jj 6(s)[ 2 ds = j^V) \d{s) — J^K(s , t) h{t) dt] ) ds = 0; 

 e quindi anche nel caso in cui il nucleo non è chiuso dovrà valere la (10). 



