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Matematica. — Sulle superfìcie e varietà algebriche irre- 

 golari di genere geometrico nullo. Nota del Corrispondente France- 

 sco Severi. 



Lo studio esauriente delle superficie algebriche irregolari di genere geo- 

 metrico zero, fu già fatto da Enriques fin dal 1905 (\) partendo dal legame, 

 allora da poco scoperto ( 2 ), tra l' irregolarità di una superficie ed il numero 

 de' suoi integrali semplici di l a specie. La proprietà fondamentale da cui 

 occorre muovere per quello studio, è data dall'esistenza di un fascio irrazio- 

 nale di curve, sopra una superficie irregolare P di genere zero ( 3 ). 



In questa Nota mi propongo di pervenire a tale proprietà per una via 

 geometrica, che è applicabile anche alle varietà superiori (nn. 6, 7, 8), mentre 

 il procedimento finora seguito per le superficie, non sembra facilmente esten- 

 dibile. La dimostrazione cui alludo, oltre ad esser concettualmente assai sem- 

 plice, parmi anche più appropriata alla natura del risultato da stabilirsi. 



Posso qui riassumerne in brevi parole il concetto informativo. 



Sulla superficie P di genere p g = 0 e d'irregolarità g >. 1 , si assuma 

 un sistema algebrico .2 co 1 , di curve C non equivalenti tra loro: v sia l'in- 

 dice del sistema, e D la curva composta colle v curve C uscenti da un punto 

 x di F . Le co 2 curve D , che si ottengono al variare di x , non possono 

 essere a due a due equivalenti, perchè lo sarebbero le C . Restano quindi, a 

 priori, possibili due ipotesi : 



1) Le D si distribuiscono in gruppi di un numero finito 1) di 

 curve equivalenti. 



2) Esse distribuisconsi invece in una semplice infinità di sistemi co l , 

 ciascuno dei quali è costituito da curve D equivalenti. 



Orbene, si dimostra che l'ipotesi 1) è da scartarsi. 



Ciò è evidente senz'altro, quando q — l, perchè i sistemi lineari |D|, 

 che appartengono ad un medesimo sistema continuo, non possono essere più 

 che coi tra loro distinti. Nel caso q > 1 , se fosse possibile l'ipotesi 1), la 

 superficie P o più generalmente una sua involuzione I„ — i cui gruppi sa- 

 rebbero dati dai punti x di un medesimo sistema di curve D equivalenti — 



(') Enriques, Sulle superficie algebriche di genere geometrico zero (Rendiconti del 

 Circolo matematico di Palermo, t. XX, 1905). 



( a ) Le citazioni relative si trovano ad es. nell'articolo di Castelnuovo-Enriqnes alla 

 fine del t. II della Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes di 

 Picard et Simart (Paris, Gauthier-Villars, 1906J, pag. 494. 



( s ) L'esistenza di un tal fascio era già stata dimostrata da Castelnuovo, sotto l'ipo- 

 tesi, rivelatasi poi superflua, che F possedesse integrali semplici di l a specie. 



Rendiconti. 1911, Voi. XX. 1° Sem. 71 



