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risulterebbe birazionalmente identica ad una superficie della varietà di Jacobi 

 V p , rappresentante i gruppi di p elementi dell'ente co 1 2, di genere p; 

 mentre invece sulla Y p non possono esistere superficie di genere zero. 



In ogni caso resta dunque possibile soltanto l'ipotesi 2). I punti del 

 sistema H formato da oo 1 curve D equivalenti, riempiono una curva alge- 

 brica M , la quale, variando H , descrive sulla F il fascio irrazionale di cui 

 volevasi provare l'esistenza. 



1. Esistenza d'un fascio irrado naie sulle superficie d'irregolarità 

 q = i . Consideriamo anzitutto una superficie F d'irregolarità 1 (e di genere 

 geometrico qualunque). Si dimostra assai facilmente che la F contiene un 

 fascio ellittico di curve. 



Si assuma infatti su F un sistema algebrico oo 1 2 di curve C non equi- 

 valenti tra loro: ciò è sempre possibile appunto perchè F è irregolare 

 I gruppi di v curve C uscenti dai punti della superficie, danno luogo ad un 

 sistema 2' di oo 8 curve D , le quali non possono essere tutte equivalenti 

 tra loro, perchè lo sarebbero anche le C ( 2 ). Nè può darsi che in 2' vi sia 

 soltanto un numero finito (zero incluso) di curve equivalenti ad una gene- 

 rica D , perchè si otterrebbe in tal caso su F un sistema continuo formato 

 da oo 2 sistemi lineari distinti. Ne deriva che, data una generica D , vi sono 

 in 2' oo 1 , e soltanto oo 1 , curve a quelle equivalenti. 



I punti di F da cui escono i gruppi di curve C formanti queste oo 1 

 curve D equivalenti, riempiono una curva M , la quale, variando la generica 

 D , da cui siamo partiti, varia su F descrivendo un fascio, giacché è ben 

 chiaro che per ogni punto di F non può passare che una M . 



Poiché la serie algebrica segata sopra una data M dalle oo 1 curve D 

 ad essa relative, è formata da gruppi equivalenti, lo stesso accadrà della 

 serie segata su quella M dalle C ( 3 ). Se pertanto il fascio delle M fosse 

 lineare, dal momento che le C segnano sulle sue curve gruppi equivalenti, 

 ne seguirebbe l'equivalenza di tutte le C (*). 



(t) Enriques, Sulla proprietà caratteristica delle superficie algebriche irregolari 

 (Rendiconti della E. Accademia delle Scienze di Bologna, 1904). Vedi pure Severi, Intorno 

 alla costruzione dei sistemi completi non lineari che appartengono ad una superficie 

 irregolare (Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1905). 



( a ) Severi, Il teorema d'Abel sulle superficie algebriche (Annali di Matematica, 



1905) , n. 9. Il teorema I di questa Memoria, sopra cui si fonda la proposizione applicata 

 nel testo, fu poi dimostrato geometricamente da Castelnuovo (Rendiconti dei Lincei, 



1906) . 



( 3 ) Severi, Il teorema d'Abel, ecc. teorema I; Castelnuovo (Rendiconti dei Lincei, 

 1906). 



(*) Severi, Il teorema d'Abel, ecc. n. 6. Il criterio d'equivalenza applicato e ivi di- 

 mostrato per via geometrica. 



