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Dunque il fascio delle M è di genere >0 e quindi, dato il valore 

 dell'irregolarità di F , di genere 1 ('). 



2. Esistenza d'un fascio irrazionale sopra le superficie di genere geo- 

 metrico zero e d'irregolarità q >> 1 . Abbiasi ora una superfìcie F di ge- 

 nere #3 = 0 ed' irregolarità q > 1 . Assumasi ancora su di essa un sistema 

 .S'oo 1 , d'indice v > 1 , di curve C non equivalenti. Si può sempre supporre 

 che il genere p di 2 , come ente <x> 1 sia > 1 . Ciò equivale ad affermare 

 che sulla varietà Y q di Picard inerente ad F — varietà i cui punti rap- 

 presentano gli co i sistemi lineari contenuti in un generico sistema continuo 

 completo di curve tracciate su F — si possono costruire curve di genere 

 > 1 . Per convincersene basta p. e. considerare le curve caratteristiche del 

 sistema lineare formato dalle sezioni iperpiane di V q o di un multiplo ab- 

 bastanza elevato di questo sistema (curve comuni a q — 1 varietà del si- 

 stema). Aggiungeremo inoltre l'ipotesi, non restrittiva, che il sistema 2 non 

 sia composto con un'involuzione. 



Ciò posto, si considerino le co 2 curve D formate coi gruppi di v curve 

 C uscenti dai punti di F . Per brevità, nel seguito, un punto di F lo chia- 

 meremo « il punto r-plo » della D composta colle v curve C che escono da 

 quello. Dimostreremo che, entro all'ente 2, le serie lineari individuate dai 

 gruppi D , non possono essere co 2 tra loro distinte. 



Potremo allora concludere che ogni grappo D, entro all'ente 2, ne 

 ha co 1 , e soltanto co 1 , equivalenti, perchè se i gruppi D , entro 2 , fos- 

 sero tutti equivalenti tra loro lo stesso accadrebbe delle curve C su F ( 2 ). 



3. Se le serie lineari individuate entro 2 dai gruppi D , sono co 2 , distinte 

 tra loro, vuol dire che ogni gruppo D è equivalente ad n — 1 (>. 0) gruppi 

 analoghi, e su F si ha un'involuzione d'ordine »(> 1) i cui gruppi sono 

 formati dai punti r-pli di quelle n curve D . 



Ma, anche qualora fosse n > 1 , ogni superfìcie <P che rappresentasse 

 birazionalmente l' involuzione suddetta, avrebbe evidentemente il genere geo- 

 metrico nullo ( 3 ). Or io dico che la totalità delle co 2 serie lineari d'ordine v, 

 individuate in 2 dalle D . si può riferire birazionalmente ad una varietà co 2 

 di gruppi di p elementi dell'ente 2 , talché ne seguirà che <2> è birazional- 

 mente identica ad una superfìcie della varietà di Jacobi Y p , imagine dei 

 gruppi di p elementi dell'ente 2 , o meglio delle co* serie lineari distinte, 

 individuate da questi gruppi ( 4 ). 



(*) Severi, Osservazioni sui sistemi continui di curve appartenenti ad una super- 

 ficie algebrica (Atti della E. Accademia delle Scienze di Torino, 1904). Vedi alla fine 

 del n. 6. 



( a ) Severi, Il teorema d'Aòel, ecc. n. 9, teorema l). Questo teorema è dimostrato 

 geometricamente. 



( 3 ) Basta ricordare come si trasformano per una corrispondenza (1 , n) le curve ca- 

 noniche d'una superficie (Enriques-Severi). 



(*) Lo studio geometrico d'una tal varietà trovasi in Castelnuovo (Eendiconti del 



