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Introduciamo per brevità una curva S , i cui punti rappresentino le 

 curve di 2 , e indichiamo con G il gruppo di v punti rappresentante una 

 D fissata genericamente, con G' il gruppo omologo d'una D variabile, e in- 

 fine con H un gruppo non speciale di p punti della S . Poiché la serie li- 

 neare | G- _j_ H| , d'ordine v + p , è non speciale, esisterà, per ogni posizione 

 di G', la serie |G+H — G'| e si ridurrà generalmente ad un gruppo non, 

 speciale H' di p punti, perchè questa circostanza si verifica in particolare 

 quando G' coincide con G. La varietà delle serie |G'| vien così riferita bi- 

 razionalmente alla varietà dei gruppi H' o meglio delle serie |H'|. 



4. Resta quindi stabilito che la superficie <2> , di genere geometrico nullo, 

 è birazionalmente identica ad una superficie della varietà di Jacobi Y p , priva 

 di varietà eccezionali. Trasformando $> mediante il gruppo continuo co p delle 

 trasformazioni frazionali di 2 a specie, che appartengono a Y p data la 

 transitività del gruppo, il sistema algebrico T costituito dalle trasformate di 

 d> , invaderà tutta la V, , e sarà quindi almeno di dimensione p — 2. 



Ma ciò è assurdo, perchè la Y p risulterebbe allora di genere geome- 

 trico nullo ( 2 ), mentre invece il suo genere geometrico vale 1 (n. 5). 



Si conclude pertanto che, dato un gruppo D, entro all'ente 2, ve ne 

 sono co 1 altri, e soltanto co 1 , ad esso equivalenti. I punti v-pli delle re- 

 lative curve D riempiono una curva algebrica M e, al variare della D con- 

 siderata, M descrive un fascio F (per ogni punto di F passa una sola M). 



Poiché la corrispondenza tra una M e l'ente 2 , ove si chiamino omo- 

 loghi un punto di M e una curva C quando si appartengano, è a valenza 

 zero nel passaggio da M a 2 , sarà a valenza zero anche nel senso inverso ( 3 ), 

 il che significa che le C segano sopra ogni M gruppi equivalenti. 



Consideriamo ora il sistema continuo completo )C{ — costituito da co? 

 sistemi lineari distinti — cui appartiene 2. Poiché 2 si può, senza restri- 

 zione, supporre variabile entro {C( in tal guisa che risultino assegnabili ad 

 arbitrio in \C[ due delle curve di 2 , e poiché d'altronde, variando 2 , il 

 fascio T, che è già un sistema completo (di grado zero), non può variare, 

 ne consegue che due qualunque C segano sopra ogni M gruppi equivalenti, 

 talché, se esse non sono equivalenti, differiscono per curve del fascio ( 4 ). 



Trattandosi di curve dello stesso ordine, una di quelle G si otterrà dunque 

 dall'altra aggiungendo e togliendo due gruppi di un egual numero di curve 

 di T. Il sistema |C( conterrà pertanto altrettanti sistemi lineari distinti, 



E. Istituto lombardo, 1892). Prendendo come elementi di V v le serie lineari g p dell'ente 

 2, si ottiene una priva di varietà eccezionali. 

 .(') Vedi Castelnuovo, loc. cit. 



(•) Severi, Alcune relazioni di equivalenza tra gruppi di punti d'una curva alge- 

 brica o tra curve di una superficie (Atti del R. Istituto veneto, 1911), n. 7, oss. 4 a . 

 ( 3 ) Severi, Il teorema d'Abel, ecc. teorema II. 

 (*) Ibidem, n, 6. 



