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quante serie lineari di dato ordine (Mjt») son contenute in T, e quindi sarà 

 p — q. Concludendo : 



Ogni superficie di genere geometrico nullo e d'irregolarità q >. 1 , 

 contiene un fascio irrazionale di genere q, di curve algebriche ( r ). 



5. Digressione sul genere geometrico della varietà di Jacobi. — Nel 

 n. precedente abbiamo dovuto far uso del fatto che una varietà di Jacobi ha 

 il genere 1. Questa proprietà si stabilisce agevolmente per via trascendente ( 2 ); 

 ma, dato che qui si tratta di esporre una dimostrazione geometrica dell'esi- 

 stenza di un fascio irrazionale sopra una superficie irregolare di genere zero, 

 occorrerà che cerchiamo di giungere alla proprietà invocata in modo conforme 

 al nostro scopo. 



Dimostreremo che sulla Y q delle y-ple di punti di una curva C di ge- 

 nere p (q<-p), la varietà delle y-ple tolte dai singoli gruppi di una 

 glpl 2 canonica, è una varietà canonica ( 3 ). 



Poiché il teorema è vero per q — l, lo supporremo dimostrato per le 

 varietà dei gruppi di q — 1 punti e lo stabiliremo per le varietà Y q . 



La V g contiene oo 1 varietà W g _i , irriducibili e birazionalmente iden- 

 tiche, ognuna delle quali rappresenta le (/-pie con un punto fisso. Cerchiamo 

 di caratterizzare V intersezione di una Wp* relativa al punto P, colla M 3 _j di 

 cui si parla nell'enunciato. 



Nella corrispondenza tra le — l)-ple di C e i punti di W, alle 

 (q — l)-ple tratte dalla g$f\ residua del punto P rispetto alla fissata g%~A 2 , 

 risponde una varietà, la quale, addizionata a quella che rappresenta le 

 (q — l)-ple aventi il punto fisso P, pel teorema ammesso, dà una varietà 

 canonica di W . E invero, quando una g$fl 2 si muove tendendo alla serie 

 gl~% -4- P . la varietà delle (q — l)-ple tratte dalla prima serie, tende alla 

 varietà delle (q — l)-ple che impongono q — 2 condizioni ai gruppi della 

 serie limite, la qual varietà è appunto costituita dalle (q — l)-ple tolte dalla 

 9%-3 e da quelle che hanno il punto fisso P. 



E poiché queste ultime sono rappresentate dai punti comuni alla W g _! 

 fissata e alla sua varietà infinitamente vicina, la M 9 _! viene a segare su 

 W 2 _ x una varietà residua della varietà caratteristica rispetto al sistema ca- 

 nonico. Ne segue che è una varietà canonica di Y q ( 4 ). 



In particolare per p = q si ha come varietà canonica la delle 

 j»-ple speciali, la quale si riduce addirittura ad un punto (semplice) di , 



0) Che poi queste curve sieno razionali quando q > 1 , è dimostrato per via geo- 

 metrica in Enriques (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2 e sèrie t III 

 pag. 83). 



( a ) Severi, Sulle superficie che rappresentano le coppie di punti di una curva 

 algebrica (Atti della E. Accademia delle Scienze di Torino, 1903) n. 9. 

 (*) Ibidem, n. 10. 



(*) Severi, Alcune relazioni di equivalenza, ecc. n. 7. 



