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se, invece di assumere i punti della varietà di Jacobi come immagini delle 

 jo-ple, si assumono come immagini delle serie lineari d'ordine p apparte- 

 nenti a C . 



Sicché, insomma, sulla V, priva di varietà eccezionali, il sistema cano- 

 nico è d'ordine zero, e quindi il genere geometrico di Y p è uguale ad 1 . 



6. Estensione delle cose precedenti alle varietà. Esame delle Y k che 

 hanno l'irregolarità superficiale q<k. — Si assuma sopra la V s d' ir- 

 regolarità superatale q l 1 ) minore della dimensione k , un sistema 2 oo 1 di 

 varietà V s _, non equivalenti. Gli oo * gruppi di v varietà V*_, uscenti dai 

 punti di V ft , danno luogo a varietà riducibili W , non equivalenti tra loro, 

 perchè altrimenti sarebbero equivalenti i gruppi segati da W sopra una 

 curva qualunque di V* e quindi anche i gruppi segati sulla stessa curva 

 dalle Vfc-i ( 2 ), il che porterebbe all'equivalenza di queste ultime varietà (*). 

 Ne deriva che, data una W, ve ne sono oo* (L 1) equivalenti 



a quella. 



Il luogo dei punti r-pli di queste W equivalenti, è una M; algebrica, 

 la quale, a! variare di W, descrive entro V, un sistema F, co *-* , d'in- 

 dice 1 . 



Sopra ogni M> le V ft _, staccano delle Ni_ì equivalenti tra loro, perche 

 la varietà formata dalle v Ni_ } che escono da un punto variabile di M* , si 

 muove in un sistema lineare. 



Ciò può anche esprimersi dicendo che le segano sopra una curva 

 qualunque C di genere n , tracciata su Mi, una sene y\ con 2v{n -f n — 1) 

 punti doppi 



Se ora si suppone che 2 possa variare in modo continuo in un sistema com- 

 pleto \Vn-ii , costituito da co i sistemi lineari, per ogni posizione di 2 i caratteri 

 numerativi della serie segata su C si mantengono inalterati, onde le varietà 

 di 2 staccheranno sempre su C e quindi ( 5 ) anche sopra M; , varietà equi- 

 valenti. Poiché nulla ci vieta di supporre che l'ente 2 sia variabile entro 

 in un sistema algebrico tale che due varietà qualunque del sistema 

 continuo completo determinino una (o più) posizioni di 2 , cosi si conclude che 

 le Yft_! del dato sistema completo, staccano varietà equivalenti sopra 

 ogni M; . 



(■) Castelnuovo-Enriques, Sur les intégrale* simples de première espece d'une sur- 

 face ou d'une variété algébrique à plusieurs dimensions (Annales de l'École normale su- 

 périeure de Paris, 1906). Vedi pure la mia Memoria: Fondamenti per la geometria 

 sulle varietà algebriche (Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1909), n. 14. 



( s ) Severi, Il teorema d'Abel, ecc.; Castelnuovo (Rendiconti dei Lincei, 1906). 



( 3 ) Severi, Alcune relazioni di equivalenza, ecc.; n. 6. 



(*) Castelnuovo, Sulle serie algebriche di gruppi di punti appartenenti ad una 

 curva algebrica (Questi Rendiconti, 1906). 

 ( s ) Severi, loc. ultimamente citato. 



