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Tutte le Y H ^ si otterranno dunque da una di esse aggiungendo e to- 

 gliendo due varietà di dimensione k — 1 , appartenenti ad un sistema con- 

 tinuo H, composto mediante le Mi. Indicando con / una varietà a k — i 

 dimensioni, i cui punti sieno le immagini delle M ; di r, le varietà di H 

 corrisponderanno a varietà di dimensione k — i — 1 , costituenti un sistema con- 

 tinuo h di y . Sicché, tanti saranno i sistemi lineari distinti di {V ft _,) , quanti 

 i sistemi lineari distinti contenuti nel sistema, eventualmente comple- 

 tato, h. 



Insomma la varietà Y k e il sistema r avranno la stessa irregolarità 

 bidimensionale q (si dovrà dire che q è uguale al genere della curva y se 

 = £ — 1). 



Si conclude che : 



Ogni varietà algebrica Y k d'irregolarità superficiale q<Ck J contiene 

 un sistemato*^ d'indice 1, di varietà Mi (1 < i<k — 1), avente anche 

 esso l'irregolarità bidimensionale q . 



Si aggiunga che i valori di i J da 1 a k — 1 , sono tutti quanti pos- 

 sibili (non beninteso sopra la slessa varietà): basta ad es. considerare la 

 varietà V ft delle coppie di punti di una V ft _ ; d'irregolarità superficiale q e 

 di uno spazio lineare Sj . 



7. Varietà Y h di genere zero e d'irregolarità superficiale q >k. — 

 Scelto su V ft un sistema 2 co 1 di varietà Y h ^ , e considerate le varietà W 

 composte colle v V ft _, che escono dai punti di Y H , si prova, come nel n. 

 precedente, che entro Y h esiste un sistema roo*-*, d'indice 1 e d'irrego- 

 larità bidimensionale q, di varietà M; (l^.i<_k — 1) su cui le V ft _ x del 

 sistema continuo completo cui appartiene 2 , staccano varietà equivalenti. 

 Tutto ciò però a condizione che si sia già dimostrato che gli oo ft sistemi 

 lineari |W| non possono essere tra loro distinti. 



Ora questo fatto si stabilisce con un'ovvia estensione del ragionamento 

 esposto, nel caso delle superficie, nei nn. 3, 4. Se cioè i sistemi \W\ fossero 

 co", k varietà Y h o una sua involuzione — che sarebbe ancora di genere 

 zero — si potrebbe trasformare birazionalmente in una varietà appartenente alla 

 V, di Jacobi, che corrisponde all'ente 2, il quale può sempre supporsi 

 di genere p > k ; mentre invece sulla Y p , che è di genere 1 , non pos- 

 sono esistere varietà di genere zero. 



Si può dunque enunciare che: 



Ogni varietà V ft di genere geometrico nullo e d'irregolarità super- 

 ficiale q, contiene un sistema d'indice 1 di varietà Mi (l<_i<.k 1), 



avente anch'esso l'irregolarità bidimensionale q . 



Osservazione. S'avvertirà che è sempre lecito supporre q^k — i. 

 Sia infatti q<k — i e indichiamo con Y h ^ una varietà i cui punti rap- 

 presentino birazionalmente le M,- del sistema r . Pel teorema del n. 6, sulla 

 Y h _i esisterà un sistema F , oo , d'indice 1 e d' irregolarità q , costituito 



