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da varietà M, , e nella corrispondenza tra V w e V ft , al sistema F? rispon- 

 derà un sistema T 0 , oo , d' indice 1 e d' irregolarità ry , costituito da 

 varietà ì&w composte col sistema Z\ Se non è ancora q>k-i-i , 

 si potrà similmente proseguire, finché non si pervenga ad un sistema d in- 

 dice 1 e di dimensione non superiore a q . 



8. Proprietà degl'integrali semplici di P specie appartenenti ad una 

 V ft di genere zero. — La nota dimostrazione dell'esistenza di un fascio ir- 

 razionale sopra una superficie F di genere zero, fa capo in sostanza all' iden- 

 tità di Noether, che lega ogni coppia d' integrali semplici di 1* specie ad 

 un integrale doppio di l a specie, sopra una qualunque superficie 



Noti sembra facile estendere alle varietà la relazione di Noether, tanto 

 più perchè, a quanto pare, non una, ma k - 1 identità debbono ottenersi 

 sopra una V, , in corrispondenza ad altrettanti legami fra gì' integrali sem- 

 plici e gl'integrali doppi, tripli, ... , A-pli di l a specie. 



Comunque, il risultato del n. precedente ci dà modo di stabilir subito 

 l'estensione di quel fatto che sulle superficie di genere zero consegue dalla 



identità di Noether, e cioè: 



Data una V* di o enere zero e d'irregolarità superficiale q>0, esiste 

 un intero i (1 tale che k-i + l integrali semplici di 



P specie di V, son sempre funzionalmente dipendenti, mentre non lo sono 

 in qenerale un numero inferiore di essi. 



' Sia infatti r il sistema co ' ■ (l = k - i% d'irregolarità bidimensionale q , 

 costituito da varietà M { appartenenti a V ft . Per l'osservazione con cui si 

 chiude il n. precedente, si potrà sempre supporre che sia q > l . 



Fissiamo il modello proiettivo di Y k nello spazio S ft+1 (xì , m^-rQ*+d » 

 in tal guisa che Y k sarà un'ipersuperficie 



f{xi , x 2 , a5*+i) = 0 



di questo spazio; e sia inoltre 



l'equazione di una V, - dello S i+1 (£ , & , , &..0 - i cui punti rappre- 

 sentino birazionalmeate le Mi di T . Essendo r d'indice 1, le £ multeranno 

 funzioni razionali del punto x variabile su V* , e gì' integrali semplici di 

 P specie di V ft , dal momento che V* e V, hanno la stessa irregolarità 

 superficiale q , proverranno tutti dagl'integrali semplici di 1* specie di Y, , 

 mediante la sostituzione razionale: 



& = li^i , X, , , XK+l) , •» , & = H*i . *» i - ' X *+J ■ 



(*) Vedi l'osserrazione di Castelrmovo alla fine di una Memoria di Enriques 

 pubblicata negli Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2« sène, t. III. 



