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Presi pertanto l -f- 1 integrali linearmente indipendenti di V; (con che 

 si viene implicitamente a supporre che sia q^>l)' 



+ k ìs dh H h kidh , (s = 1 , 2 l + l) , 



la matrice jacobiana dei corrispondenti integrali di , considerati come 

 funzioni delle variabili indipendenti X\ , ... , x* , sarà 



VA ^ 



C) 



(« = 1,2,. ..;/ + !) , 



ove, beninteso, le derivate si calcolino tenendo conto che cc ft+1 è funzione 

 algebrica di sci , £ 2 , ... . 



Consideriamo un determinante d'ordine l -j- 1 estratto da questa ma- 

 trice, p. es. : 



ZK 



d§ r 



dxi +l 



(* = !,...,*+ 1) 



Esso uguaglia il prodotto delle due matrici: 



A-is , A 2d , ... , A; s 



dj-.! d£ 2 



d3C § dtJCs 



dh 

 doc ? 



(s = l ....,*+!); 



e poiché in queste il numero delle orizzontali supera il numero delle ver- 

 ticali, il determinante prodotto risulterà identicamente nullo. Ciò vale per 

 ogni determinante di ordine massimo estratto dalla matrice funzionale di 

 l -j- 1 integrali qualunque di ; dunque gì' integrali stessi son funzional- 

 mente dipendenti. 



Ci resta da considerare l' ipotesi q = l . Se la varietà V ; non ha i suoi 

 integrali di l a specie funzionalmente distinti, si conclude facilmente, come 

 sopra, che l' -J- 1 <C l -}- 1 integrali di l a specie di V h son sempre funzional- 

 mente dipendenti. 



Altrimenti, assunto sopra Vj un sistema oo 1 ^' di varietà Yi_i non 

 equivalenti, e considerato l' insieme oo 1 delle varietà W composte colle 

 v f Wi_i che escono dai singoli punti di , si vede che i sistemi lineari |W'| 

 debbon essere oo 1 , tra loro distinti, perchè altrimenti (n. 6) V; conterrebbe 

 un sistema T' oo d' indice 1 e d' irregolarità l , di varietà M 4 r , e gì' in- 

 tegrali semplici di Vj non sarebbero più funzionalmente distinti. 



Ma dunque i sistemi |W'| si distribuiscono in oo 1 gruppi, ognuno dei 

 quali è formato daw(^l) sistemi |W'| equivalenti, sicché gli spunti v'-pli 

 di n varietà W tra loro equivalenti, formano un gruppo variabile in una 

 involuzione I„ , birazionalmente identica alla varietà di Picard annessa a 



( l ) Indichiamo la matrice scrivendo soltanto la sua orizzontale s-esima. 

 Rendiconti. 1911, Voi. XX, 1° Sem. 72 



