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Matematica. — Sulle funzioni permutabili di seconda specie. 

 Nota di Luigi Sinigallia, presentata dal Corrisp. GL Lauricella. 



1. Il prof. Volterra ( l ) chiama funzioni permutabili di seconda specie 

 due funzioni ~F(x , y) , K(x , y) finite e continue, le quali soddisfano alla 

 relazione: 



(1) f b ¥(x ,s)K{s,y)ds = f K(x ., s) ¥(s ,y)ds = g(x , y) . 



J a J a 



Scopo di questa Nota è di mostrare come introducendo le funzioni orto- 

 gonali di Schmidt, possano determinarsi le funzioni ~K(x , y) permutabili 

 di seconda specie con una data funzione ~F(x,y), che sia uguale alla somma 

 di un numero finito di prodotti di una funzione della sola x per un'altra 

 funzione della sola y. 



Poiché qui ci occuperemo della sola permutabilità di seconda specie, 

 diremo brevemente che tutte le funzioni K(x , y) che soddisfano alla (1) 

 sono permutabili colla ¥(x , y). 



Supponiamo poi che la funzione data sia espressa mediante il corrispon- 

 dente sistema ortogonale completo <p r (x) , xp r {y) , ossia supponiamo che sia: 



(2) Hxiy) = ±SdÉJ!M ; 

 ove : 



f 6 /x / \ j ( 1 se i = h f ' , M , M , (1 se i = k 



X *(*> »W ( 0 se e ={= A ' X ^ Uy) ~ [ Q se e =f= A 



Notiamo anzitutto che se 



(3) f F(x,s)K{s,y)ds = g(x,y), 



la g(x , y) dovrà soddisfare alla relazione 



n rb 



(4) g(x , y) = X <Pr{x) 9r{§) g{s ,y)ds , 



(*) Volterra, Sopra le funzioni permutabili. Eendiconti E. Accad. Lincei, serie 5 a , 

 voi. XIX, 1° semestre 1910. 



