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essendo « i)A delle costanti. Per determinarle rammentiamo (') che la g(x , y) 

 definita dalla (11) deve essere una funzione permutabile colla F(jc , y), cioè 

 sarà 



f F(a; , s) g(s ,y)ds= f g(x , s) F(s , y) ds ; 

 quindi se poniamo 



A'i,7, = f g>;(s)V> A (s)ds 



dovrà aversi 



Z ! ~r Z <v ~ T" Z ^ a ^ ^ ; (^) V^(y) = 0 : 



e poiché le <fi{x) sono fra loro linearmente indipendenti e così pure lo sono 

 le iph(y), le n 2 costanti a^j, dovranno soddisfare alle n 2 relazioni 



n n 



(12) k^_k hìr ai, r — l h ^_k r ,ia r , h = 0, (i , À= 1 , 2 , ... n) 



r=l r=l 



Posto ciò preso un sistema di valori ai, h che soddisfano alle (12) cerchiamo 

 la soluzione più generale dell'equazione 



¥(x , s) K(s ,y)ds= 2! a hh <Pi{x) *ph{y) '■ 



a i,h=\ 



A tale scopo cerchiamo di determinare le costanti bi,h in modo che la 

 funzione 



n 



(14) K 1 (x,y) = X hh<fi{x)ìprly) 



sia una soluzione della (13). In tal caso dalla (13), ponendovi per K(x,y) 

 la ~Kì(% , y) data dall'espressione precedente, si ha 



Z ! T Z A « b r,n — aun <pi(x) f h (y) = 0 

 e quindi le bi,h soddisferanno alle relazioni 



n 



(15) 2! #r,fc = 2j Cti, h (Ì ,7l = l V-2 , ... W) . 



r=) 



(') Volterra, Questioni generali sulle equazioni integrali ed integro differenziali. 

 Rendic. R. Accad. Lincei, ser. 5 a , voi. XIX, 1° semestre 1910. 



