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 Ora si vede facilmente che se 



D = 



An • • • "in 



A.j,i . . . A nn 



il determinante del sistema (15) è D n , e se denotiamo con P a il comple- 

 mento algebrico di A i)7i nel determinante D (che supponiamo diverso da 

 zero) deduciamo dalle (15) 



(16) 



Kh = 17 2> P ; -,r Or, h (i , h = 1 , ... ») 



La soluzione generale della (13), quando le costanti a { , h soddisfano 

 alle (12) è dunque 



(17) 



K{x,y)= Z bi, h <pi{x)y h {y) + 6(x,y); 



ove (>(x,y) è la soluzione generale della (15) ed è quindi data dalla (6): 

 le costanti b iìh sono poi date dalle (16). 

 Osserviamo poi che per la (14) 



CkAx , s) F(« ,y)ds= f_ ^-k hr bi,r(fi{x)xp h {y)\ 

 ma per le (16) 



1 n 



— 5 A. hr bi,r = T^T- 2_ Pl > s X ttsr ' 



e per le (12) 

 (18) 



Quindi si ha 



f~h r=ì r,i=l 



1 



Ki(x, s)F{s,y) ds~ £ «a SPì(#) V»(y) > 



e la funzione K^.y) definita dalla (14) ed i cui coefficienti sono dati 

 dalle (16) è una funzione permutabile colla ¥(x , y). 



Dunque perchè la K(cc , y) definita dalla (17) sia permutabile colla 

 F(# , y) bisogna che fl(a> , y) sia una funzione permutabile colla F(# , y) 

 stessa. Ma la 6(x,y) è la soluzione generale della (5), dunque essa dovrà 

 pure soddisfare alla (9) ; sarà cioè la soluzione generale comune alle (5), (9). 



