— 567 — 



Concludiamo così che la funzione piii generale permutabile colla nostra 

 F(x,y) è data da 



n 



(19) K(x,y)= y bi, h (fi{x) \p h {y) + cc(x , y) — 



i,h=l 



n. rb n, rb 



— Z 9r(y) a ( x ' 0 ^ — Z VvO) I «(« ,y)ds + 

 + Z spi(y) V*(#) f M*) ds f a ( s ' 0 spìW ^ ' 



i,R=l J a Ja 



essendo a(x , y) una funzione arbitraria integrabile e le bi, h costanti deter- 

 minate dalle (16). 



Dalle relazioni precedenti possiamo anche facilmente trovare le relazioni 

 cui soddisfanno le costanti b i<h ; infatti dalle (15), (18) si deduce subito 



n n 



(20) li Z A ftr bi, r — h Z Ar,< b r ,k = 0 (i , A = 1 , ... n) , 



cioè le è,,» soddisfanno alle stesse equazioni cui soddisfanno le 

 In particolare se Y(x , y) è una costante, poiché allora 



<p(x) = xp{y) = 



1/b — a' 



la funzione più generale permutabile con una costante sarà 



K(x , y) = a(x , y) — jZT a jj^ «(« , 0 <fc + «(* y) ds J + e , 



essendo c una costante arbitraria. 



2. Per risolvere completamente il nostro problema dobbiamo ora occu- 

 parci delle determinazioni delle costanti oppure delle b ik . 



Se poniamo 



n 

 r=i 



n n 

 4i,h = h Z Qir — K Z A " 4= h ) > 



il sistema (12) consta delle « equazioni = 0 e delle n(n — 1) equazioni 

 = 0. Tali equazioni però non sono linearmente indipendenti perchè se 



