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Qualora (in un certo campo) risulti assolutamente convergente la serie 



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è naturale di porre (») (per quelle V e in quel campo in cui la convergenza 

 sussiste) 



p(D)V = £, e, D^V. 



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Da tale definizione risulta ovviamente che, se p,(D) e p 2 (D) sono due ope- 

 razioui della specie considerata, esse sodo altresì permutabili e componibili 

 coll'ordinaria regola di moltiplicazione, tostochè siano soddisfatte debite con- 

 dizioni di convergenza. Si ha cioè, indicando con p(D) il prodotto (nel senso 

 ordinario) delle due funzioni p t (D) , p 2 (D) (del simbolo D), 



p 2 (D) J Pl (D)V j = M D) | ^(D)V j = p(D)V. 



2. Prendiamo a considerare una funzione y(f) della variabile complessa 

 f= ( P J rity, reaie sull'asse reale ip = 0, e regolare nella striscia S com- 

 presa fra le rette i// = ±l (contorno incluso). 



Detta r{(f) la funzione reale, cui si riduce y per xp = 0, potremo de- 

 durne y(<jp -f- e) mediante la serie di Taylor. 



Colle notazioni, testé richiamate, del calcolo funzionale, ciò si traduce 

 nella formula 



y(g> -j- i) = e iD r . 



Scindendo il reale dall'immaginario, ove a e § designino rispettivamente 

 la parte reale e il coefficiente di i in y(g> -f- i), se ne trae 



( X ) j a Ì9>) = cos D . r , 



f /9(9>) =-c sen D . r . 



Ove si possano ulteriormente applicare le operazioni tg D , D cot D (che 

 rientrano entrambe nel tipo p(D) del n.° precedente), abbiamo dalla prima 

 delle (1) 



tg D . a — tg D cos D . r = sen D . r , 



e dalla seconda 



D cot D ./? = D cot D sen D . r = D cos D . r . 

 Avendo riguardo alle (1) stesse, vien fatto di eliminare r, e rimane 



( tg f . a = fi , 



j D COt D . fl em Da , 



(') Cfr. Pincherle e Arnaldi, Le operazioni distributive. Bologna, Zanichelli, 1901, 

 Cap. VI. 



