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genza della serie J_^c,B\ Nel caso nostro bisognerebbe prendere q < — , 

 che è il più piccolo dei due raggi di convergenza spettanti alle serie (3), (4). 



In quest'ordine di idee, vai forse la pena di notare che, per le trascen- 

 denti intere di genere zero, si ha la limitazione (') 



|D'V|<M, 



corrispondente a q — 1. 



In base ad essa, le serie D cot D . y , . y convergono assolutamente 

 in tutto il piano /, e ne rimangono rigorosamente dimostrate le (2). Ma la 

 detta categoria di funzioni è pressa poco la sola per cui il risultato sus- 

 siste sotto forma di serie. 



4. È invece possibile, ricorrendo alla teoria delle funzioni armoniche 

 e trasformando opportunamente una formula del Dini ( 2 ), attribuire alle re- 

 lazioni fra a e /?, sulla retta tp == 1, due forme integrali assai più vantag- 

 giose. E precisamente una prima forma, risoluta rispetto a /?, che è appli- 

 cabile in ogni caso (reiasione dispari), e una seconda, risoluta rispetto ad d 

 (relazione inversa), che richiede (o, meglio, la cui dimostrazione ha richiesto) 

 una ipotesi addizionale circa il comportamento all'infinito della ft. 



Le due relazioni sono (gli apici designando derivazioni rispetto agli 

 argomenti indicati) 



( 5 ) m = 2^J|k(sPi ' 9) «'(SPi) <*5Pi , 



(6) a'(cp) = /%) T L( 9l , 9 ) p"( 9l ) d 9l 



con 



71 71 



2*' , „2» 



(7) K( 9lì9 ) = logl e —±° 



( 8 ) H<pi , (p) = log 



71 71 



1 _ —n^—yiy 



La (5) può ben dirsi valida incondizionatamente, essendo certo soddis- 

 fatta ( 3 ), ogniqualvolta si sappia che «' è funzione (dei punti della retta 

 V = l) continua al finito e finita anche all'infinito. 



(') Come risulta da un teorema generale di Poincaré. Veggasi ad es. Borei, Lecms 

 sur les fonctions entières, Paris, Gauthier-Villars, 1900, pag. 56. 



H Cfr. le Note: Trasformazione di una reiasione funzionale dovuta al D'ini 

 pp. 285-296, 381-391 di questi Rendiconti (sedute del 5 e 19 marzo u. s.). 



(») Da una e una sola funzione y{f) regolare entro la striscia S, e tale che la sua 

 parte immaginaria ip si mantiene ovunque finita (contorno incluso) TCfr. pae 387 se- 

 duta del 19 marzo], F S 



