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La (6) è stata stabilita nell'ipotesi che /»(*), oltre ad ammettere le 

 prime due derivate (continue al finito), tenda ad annullarsi per « 

 quest'ultima è in sostanza la sola ipotesi restrittiva, potendos. tranquilla- 

 mente ammettere - almeno nelle applicazioni che abbiamo m vista - 

 che si tratti di funzioni derivabili quante volte occorre, e finite ovunque 

 (anche all'infinito), assieme alle loro derivate. _ < 



5 Scopo della presente Nota è di ricavare dalle richiamate relazioni 

 integrali - (5) e (6) - degli sviluppi differenziali, che contengono rispet- 

 tivamente quanti si vogliano termini delle serie .«',DcotD più un 

 resto È chiaro che l' interesse risiede esclusivamente nell'espressione del resto. 

 Essa ci mostrerà che le serie (2) (pur essendo quasi sempre divergenti, come 

 abbiamo osservato poc'anzi) possono servire utilmente in calcoli approssima- 

 tivi, quando si limitano a un numero conveniente di termini 



6 Occupiamoci dapprima della relazione inversa (6), che la riscontro 

 alla seconda delle (2). Sotto questa forma essa fu già rilevata e (in via di 

 approssimazione) genialmente sfruttata da Lord Rayleigh nelle sue ricerche 



sull'onda solitaria (*)• . . 



Introduciamo, al posto di 9l , una nuova variabile di integrazione 



S = 71T (<jp, — (f). 



Per essere L funzione pari del solo argomento n{ 9l - »), risulta subito 



(6') 



con 



(8') L( S ) = log (1 _,_ s) ,,- 



Se si ricorre all'identità 



(9) fa -f A) = /%) + W + y D 2 /? + - + ^ZTT)! D *"~^ + 



_l_ * | (i — t) 2 "- 1 V 2n P(<p + ht) . di . 



^ (2n— l)'. Jo. 



e la si applica alla funzione 0' facendovi h = ±^, si ottiene 



( >) Scientific Papers, voi. I, Cambridge University Press, 1899, pp. 256-261. 



