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Procuriamoci il valore degli integrali definiti 



f°°' 1 

 J 0 ìo 8 i _ g-s • ds ( v inter0 positivo), 



che è del resto ben noto (')• Lo si calcola partendo dalla formula elementare 



^ v e- s ^s = (2r)! , 



0 



o, meglio, da questo suo corollario: 



(2r)! 



in cui m designa un qualsiasi numero positivo. Si immagini infatti di inte- 

 grare s 2-< log j — da un e comunque piccolo a -f- oo, sostituendo al loga- 

 ritmo il suo sviluppo in serie di potenze di <r s , e passando poi al limite 

 per <• = 0. Si ha 



(10) J o ^iog r -- 7rs .^=y m A. } o ^-^ s== 



= ( 2l ')!£ ni ^ = (2r)!w. 

 Ciò posto, portiamo l'espressione sopra scritta di 



nel secondo membro della (6'). In virtù delle (10), risulta 



(6") a'( f ) = /2(<p) - 2 ^ D 2 !? - 2 ^ D 4 /J 2 ^ D 2 "/? - R 2n , 



il resto R 2 „ avendo l'espressione 



(11) R 2 „ = 1 L_ x 



(2« — 1)! 7r^- 2 X 



X | f s 2 » L(s) <fo jjl - <)*-i | D 2n+2 /9 ^ + ^ + D 2n+2 /? - 5) ^ • 



(«) Cfr. per es. Hermite, Cours d'analyse, pag. 96 delia (■ iza edizione, Paris, Her- 

 mann, 1887. 



