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estrema semplicità e chiarezza che conferiscono alle formule che si debbono 

 maneggiare. 



1. Formule preliminari. — Indichiamo con S lo spazio limitato da 

 una superficie chiusa o-, e con u , v due vettori funzioni regolari dei punti P 

 dello spazio S. Si ha allora la formula ('): 



(!) j s ÌY n dS = — £(» XN)v da — jT v div u dS , 



ove N indica un vettore unitario, normale a e, e diretto all'interno di S. 



Oltre le dimostrazioni di questa formula, indicate nella mia Nota citata, 

 si può pure dare la seguente, assai semplice. Si ha ( 2 ) : 



grad H(u , v) = ^ u + v div u , 



quindi, integrando ambi i membri nello spazio S, e trasformando poi il primo 

 membro in un integrale esteso a e, risulta: 



grad H(u ,v)dS = — £h(u , v) N dà = — J^(uXN) v da , 



perciò ne segue la (1). 



La (1), che è una generalizzazione del lemma di Green, è molto im- 

 portante per l'Idrodinamica. Nel caso particolare in cui u — v — grad </> , 

 essa è stata data dal prof. Levi-Civita, il quale l'ha utilmente adoperata 

 nella sua Nota già citata. Le equazioni cartesiane, equivalenti alla (1), sono 

 state assegnate e adoperate recentemente dal prof. Cisotti, per stabilire il pa- 

 radosso di d'Alembert ( 3 ); tale forma cartesiana è però alquanto complicata: 

 e poco dopo io ho fatto vedere (nella mia citata Nota dell' Istituto Veneto) 

 come, per mezzo della (1), si potessero molto semplificare i calcoli. 



Ricordiamo ancora che se una massa fluida, di densità q, è animata 

 da moto stazionario, il vettore v, velocità di ogni particella fluida P, deve 

 soddisfare all'equazione di continuità : 



(2) div( ? v) = 0, 



(') Boggio, Sul moto permanente di un solido in un fluido indefinito. Atti del E. 

 Istituto Veneto, t. LXIX, a, 1909-910. 



( 8 ) Boggin, Sul gradiente di una omografia vettoriale. Rendiconti di questa Acca- 

 demia, serie 5 a , voi. XIX, 2" seni. 1910. 



( 3 ) Cisotti, Sul moto permanente di un solido in un fluido indefinito. Atti del E. 

 Istituto Veneto, t. LXIX, a. 1909-91D. 



