— 642 — 



molte e notevoli proprietà che applichiamo alla risoluzione di alcune equa- 

 zioni le quali, evidentemente, hanno notevole importanza in questioni di 

 Fisica e di Meccanica. Le dimostrazioni sono semplicissime; ci risparmiamo, 

 in generale, di citare nelle 0. v. le regole note di calcolo omografico che 

 applichiamo; però sviluppiamo completamente i calcoli necessari per tali 

 dimostrazioni. 



1. In tutto ciò che segue: u, V sono vettori funzioni del punto P che 

 varia in un campo a tre dimensioni; a è vettore costante, arbitrario; i, j,k 

 è terna unitaria- ortogonal e- destrogira-costante di vettori ; « , /? sono omografie 

 funzioni del punto P; m è numero pure funzione di P. 



Con la notazione Rota indichiamo l'omografia, funzione di a, tale 

 che comunque si fissi il vettore u si ha sempre 



/ dn\ 



(1) (Rot a) U = rot(au) — 2V la ^ J . 



Occorre dimostrare che Rota, così definita dalla (1), è realmente 

 una omografia vettoriale. 



Risulta subito dalla (1) che 



( a ) (Rot a) (il + v) = (Rot a) il + (Rot a) V 



(b) (Rot a) {mu) = m rot (au) + grad mA«u- 



- 2V + «H(grad m ,u)\ = m |rot(«u) - 2V (a -^j J -f- 



+ grad fflA«u - 2VH (grad m ,au) = m (rot a) u , 



e le (a), (è) provano appunto che Rota è omografia. 



È poi evidente che : Rot è operatore che applicato ad una omografia 

 produce una omografia, e quindi, Rot ammette qualsiasi potenza positiva. 



In particolare, ponendo nella (1), in luogo di u, il vettore costante, 

 arbitrario, a si ha 



(2) (Rot a) a = rot (« a) 



il che giustifica la notazione Rot a scelta per indicare l'omografia, funzione 

 di a, definita dalla (1) (*). 



Per le potenze di Rot si ha, per induzione, 



(2') (Rot" a) a = rot" (a a) . 



I 1 ) Non giustificherebbe però la notazione rota, finché rot rimane, nel significato 

 usuale, operatore per i vettori, mentre il nuovo simbolo deve essere operatore per le 



omografìe. 



