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Dim. (14). I, Rot« = — 2iXV^i^ — 



o- v dYa i 9T dYa 



Dim. (16). RotK« = Rot(« — 2VaA) = ecc. (per la (7)) 

 Dim. (17). (grad K Rot a) X a = div rot («a) = 0 

 Dim. (18). Dalla (15) e (17) si ha 



grad Rot a = grad ( (grad Ca) A) = — rot grad Ca = rot grad a 



Dim. (19). Dalla (12) e (11) si ha subito la prima delle (19). Per la 

 seconda: 



(A Rot a) a = A' ! rot («a)] = grad div rot («a) — rot 3 («a) = — (Rot :, «) a . 



Dim. (20). 2V Rot K Rot a — grad C K Rot a — 



= grad li Rot a = — 2 grad div Va 

 dYa 



Dim. (21). Rot K Rot (Va A) — — Rot KC = 



= — Rot div Va = — (grad div Va) A . 



4. Si ha il corrispondente di un noto e fecondo teorema di Clebsch. 



Se a è omog., funzione di P, si può, in infiniti modi, determinare l'omo- 

 grafia fi e il vettore u, funzioni di P, in guisa che 



(in 



(a) a = Rot/? + K— . 



Se a è vettore costante si ha (teorema di Clebsch) 



«a = rot v + grad m 



con v vettore ed m numero funzioni di P e di a; ma tali funzioni sono 

 lineari rispetto ai vettori costanti a e quindi esiste l'omografia fi e il vet- 

 tore u, funzioni di P soltanto, tali che per a vettore costante, arbitrario, 



v = /Sa , w = u X a . 

 La formula precedente diviene 



«a = rot (fin) + grad (u X a) = ^Rot fi + K a . 



Segue che: Ogni Rot è pure una Rot 2 . Cioè, in particolare: L'equa- 

 zione Rot 2 £ = Rota ammette come soluzioni le omografie fi che soddisfano 

 alla (a). 



