— 647 — 



Operando con Rot nei due membri della (a) si ha Rot a = Rot 2 /?. Vi- 

 ceversa sia Rot(Rot£ — a) = Rotr/ = 0; dalle condizioni equivalenti 



Rot ì] = 0 , rot (rjsì) = 0 , ??a — — grad m = — grad (u X a) = — K — a 



risulta Rot £ == a — K — che è la {a) per /? =| . 



5. L'equazione grad£ = 0 ha come soluzione generale 



£ = K Rot a 



con a omog. arbitraria, 



In virtù della (17), K Rot a è soluzione della equazione. Viceversa: 

 da grad ì = 0 e per a vettore costante si ha 



aXgradf = 0 , div(K£a) = 0 , K£a = rot v = rot («a) = (Rota) a 



che dà, appunto, TC£ = Rota, cioè £ = K Rot a ('). 



Il teorema seguente risolve in modo semplicissimo una questione già 

 risolta da Maxwel, Morera, Beltrami, e prova immediatamente che le due 

 soluzioni, di forma diversa, date da Morera e Beltrami, poi dal Morera di- 

 mostrate equivalenti, corrispondono al riferire Da alle sue direzioni princi- 

 pali o a tre direzioni auto-polari ( 2 ). 



L'equazione grad D£ = 0 ha come soluzione generale 



D£ = Rot K Rot Da 



essendo Da dilatazione arbitraria. 



Per la (20), Rot K Rot Da è dilatazione; e poiché essa coincide con la 

 sua coniugata, per la (17) è soluzione. Che è soluzione generale può anche 

 vedersi osservando che essa ha sei dimensioni come Da; oppure così. Da 

 grad DJ = 0 segue DJ = KRot/? con VRot/J=-0, cioè grad C/3 = 0, o 

 ancora, Cp = — KRota ; osservando che I.C/3 = 2 h § = 2 div Va , si ha 



DJ = K Rot (K Rot a -f- li = K Rot K Rot a + K Rot div Va 

 = K Rot K Rot a — (grad div Va) A , 



che per le (20), (21) dà a DJ la forma indicata. 



(') Dalla mia Nota: Sull'operatore di Laplace per le omografie vettoriali (Questi 

 Kendic , v. XX, s. 5 a , 1911, pp. 10-16) e dalla (12) risulta subito (basta porre a = — KjS), 

 % — KEot 2 jS; ma tale risultato concorda con quello ora trovato a causa dell' ultimo teo- 

 rema del n. 4. Per l'equazione grad f = f cfr. la Nota ora citala. 



( a ; Maxwell, Sdentine Papers, voi. II, pag. 102; Morera, Soluzione generale ielle 

 equazioni indefinite dell'equilibrio di un capo continuo, Eend. Acc. Lincei, voi. I, ser. 5 a , 

 1892, pag. 137; Beltrami, Osservazioni sulla Nota precedente, pag. 141 ; Morera, Appen- 

 dice alla Nota: Soluzione ecc., pag. 233. 



