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2. Il teorema enunciato può dimostrarsi ricorrendo ad un teorema di 

 analisi data da Osgood ( 1 ). Per questo poniamo 



K(xJ) sp(£) rf? + 



oc 



dSK{x,$) K(^r)9>(?vr +•■•■ 

 d$K(x,s)j rfrK(?,nJ -J ( ^ 1) K(r H - i M (n) )9'(? (n) )^ <n) 



e poniamo quando esistono 

 Sn(») = lim S„(m , a?) 



S(m , ce) = lim 8 n (m , a?) 



ra=oo 



oo r*m fm fm 



— *(*)+Z L ^'K(j,n l - 



K ^(n-i) ? |< M )) rf f <«) . 



£(n-i) 



S(cc) == lim ["lim S„(m , se) - 1 . 



Lemma. Consideriamo una funzione qualunque f(m , x) continua in x 

 per un valore qualsiasi della m, che è finita, in valore assoluto <Q, e 

 tale che 



\f(m' ,x) — f(m , x)\dx = 0 



a;' 



«i = oo ^a;' 



uniformemente, quando J^V^ccì, dove £Cj è un valore qualunque nel 

 tratto x = b ( 2 ). Allora si ha che 



é una funzione dello stesso genere. 



Infatti fi(m , #) è continua e finita in valore assoluto <QN. E inoltre 



rm' 



If^m' ,x)-f l {m,x)\^ |K(x,£) f{m',ì)\tè + 



Jm 



\K(xJ)\\f(m'^)-f(m^)\dl 



oc 



|K(a,£)|#+2Q |K(*,£)|^+P 2 |/K,£)-/(m,£|$f. 

 ( x ) W. Osgood, Funktionentheorie, voi. I, pag. 519. 



( a ) Non vi ò bisogno di questa ipotesi se si usano i concetti degli insiemi misura- 

 bili ma conviene non introdurre metodi non necessari all'uopo. 



