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Fissato un valore s consideriamo un solo valore x e prendiamo m 0 

 tanto grande che si abbia 



Poi prendiamo m >> m 0 tanto grande che si abbia 



| f(m' , x) — f{m ,x)\dx^ 



x 



4P 2 - 



Quindi si avrà 



\fi(m' , x) — f x {m , x)\^=s. 

 Cioè lim f^m , x) esiste. 



m=ao 



Si ha anche, essendo x' nel tratto b ^ x' ^ £c x , e ^ un valore fisso, 

 \fi(m' ,x) — fì\m , x)\ da = 



x' 



K(xJ)f(m'J)dì--\- K(x^)(f(m'J)-f(m,^)d§ + 



x' \Wm ^m, 



-f J K(cc , ?) (/>(»' , f ) - /"(w , ?)) # | «te 



— 3Q xn n k {x ' ^ 1 i dx + P2 1 nx mo 1 ^ »*)■-- a*» . #i # j 



dove m^>m 0 . Preso m 0 tanto grande che sia 

 prendiamo m > w 0 tanto grande che si abbia 



X"'l/K.{)-AM,?)l^a 2p ^_ {) . 



Dunque si avrà 



, #) — fi(m ,x)\dx^Lr] 



x' 



la quale dimostra la desiderata convergenza uniforme. 



Ma in questo modo si dimostra che tutti gli integrali che compaiono 

 nella funzione S„(m , x) sono delle funzioni f(m , x) perchè (p(x) è una tale 

 funzione. E per conseguenza si ha che 



a) S„(cc) = lim S„(m , x) esiste, x^b. 



