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Inoltre segue dalla convergenza della serie S(m , ce) che 

 b) S(m , x) — lim S„(m , ce) esiste, x = b, 



e dall' ineguaglianza 



|S, ) (m,z)|^P 1 [l + N + N 2 + - + N— l&fij^f:, * = b, 



che la convergenza affermata di S(m , x) è uniforme rispetto alla m. Quindi 

 si ha dal teorema sopracitato di Osgood che 



[ S(x) = lim S(m , x) esiste, x =* * , 



A ) 



I lim S„(.£) esiste e è eguale a S(cc) , x = b. 

 3. Dalla forma della serie S(w , ce) si ha l'equazione 

 K(a? , t) 8(m J)dg = S(m , as) - sp(cc) , 



ce 



e quindi dalla <?), 



K(x , £) S(w , £) df esiste e è eguale a S(a) — sp(as) . 



ir 



Ma il primo membro dell'equazione (3) può scriversi nella forma 



J- 00 

 oc 



7»=00 ^i» 



infatti si ha 



J-.00 f m 

 K(x , ?) S(m , £) <% — K(# , I) S(m , I) rff ^ 



.<= fjK(x , ?)| |S(m , ?)| # ^ i3NX°° |K(a; ' ?)l * ' 



che per un valore fisso di x si può fare tanto piccola quanto ci piace, col 

 prendere m abbastanza grande. E questa non è altro che 



( 4) lim ( lim f mi K(x , £) S( m , £) dA . 



Per meglio esaminare quest' ultima funzione (4) sarà opportuno con un 

 cambiamento nell'ordine di integrazione scriverla in un'altra forma. Infatti 



