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dalla formula 



J"m rm rm ri' 



dì K(x , ì) K(ì , ì') g>(?) dì' = dì' y>(?) K(x , ì) K(ì , ì') dì 

 oc J\ J te J ce 



si ha 



rm rm fra rm 



dì K(x , ì) dì'K(ì,ì') ... L l _ 1) K(r- 1> , £ (n> ) SP(? <n) ) dì™ = 



J oc J£, J\ 



rm r\ (vù r\<- n) 



= dì™ dìK(x,ì) 



J co J oc «■'£ 



(w 3) K(^ w - 3 > , ? ( "- 2) ) (n _ 2) K(r w - 2) , f* 1 " 1 *) , Ì M ) dì*-». 



E si può scrivere 



k'(x , I) 5p(|) d£ 



X 



dove /c'(ai , ?/) , il nucleo dell'equazione risolvente di Volterra, è dato dalla 

 formula 



k'{x , y) = - K(x ,y) - X f "# K(* , È) f V K(f , ì') P - 



- rL)K(^ n - i> ,? (M) )K(^,2/)^ ) . 



E siccome x ì ì' ^ ■■■ ^ì (n) ^ y , si ha 



P 8 



|#(«.y)l= i^Tn . 



Di più, essendo sempre uniforme la convergenza della serie in x ,y, si ha 



J~m rm 

 \k\x,y)\dy^ \K(x,y)\dy + 

 x J X 



oo r m ry ry 

 + 1 dy\ •••L l) |K(f«"-»,^)||K(^,y)|dr- ) 



la quale, dopo avere usato l' inversa della trasformazione già fatta diretta- 

 mente, si vede che è =N/(1 — N). 



\k'(x ,ì)\dì esiste, e la funzione 



X 



J^m 

 k'(x , ì) cp(ì) dì 

 x 



gode delle proprietà delle funzioni f(m,x) dell'articolo (2). Perciò 8(m,a) 



