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gode delle stesse proprietà. Inoltre siccome 



Cxi rx x 



| K(.* , £) ! 1 8(m' , £) — S(m , ì) \ d$ P 2 \S(m' , x) — S(m , x)\ dx , 



J x' J oo r 



si vede che 



lim [V,f)S( W) 0« \ a ~ìl>^ x ì 



m—x ■J x' \ u> ^ «^ì / 



esiste. 



Tornando ancora all'espressione (4) si ha che 

 (a) lim K(x , £) S(m , f ) d% esiste, 



m—a> J x 



K(x,£)8(m,£)d§ esiste, 



j — a; i 



e quest'ultimo uniformemente rispetto alla m; quindi applicando il teorema 

 sopracitato di Osgood, si può nell'espressione (4) invertire l'ordine dei due 

 limiti, e scriverla 



(6) lim |~ lim f mi K(x , £) S(ra , £) di] . 



Ma lim K(# , ?) S(to , £) non è altro che K(# , £) S(£) tf£ dove 



m=oo J x 1 



l'integrale è l'integrale di Lebesgue ( 1 ). Perciò si ha dalla (3) 



K(x , J) S(£) d| = S(z) - cp(x) 



X 



e quindi è soluzione dell'equazione (1). 



4. Supponiamo che esista un'altra soluzione u(x), limitata, e integra- 

 bile nel senso di Riemann o di Lebesgue ( 2 ). Si ha che la differenza, 



(') Per dare una definizione abbastanza generale dell'integrale non bisogna allonta- 

 narsi dai metodi delle funzioni continue. Data una funzione f{x) supponiamo cbe possa 

 trovarsi una serie di funzioni f n (x) continue, finite in valore assoluto <M, tale che 



r b rb 



lim f n (x) = f{x). Allora si definisca f(x) dx = lim f n (x) dx . Cbe l' integrale è uni- 



«=co J a n=<*>Ja 



camente determinato segue dal fatto che se f(x) è anche continua si ha come teorema 

 la sopra data definizione (Osgood, On the non uniform convergerne, Amer. Journal of 



Math. 1897). Quindi la differenza di due tali rappresentazioni avrà lo zero come limite 

 dell' integrale. 



La definizione qui data compare come caso speciale di un teorema di H. Lebesgue 

 {Lecons sur V integration, pag. 114). 



( 2 ) 0 nel senso più generale di una definizione che soddisfa le prime cinque con- 

 dizioni di Lebesgue, ma non necessariamente l'ultima (vedi pag. 98, Lecons sur l'inte- 

 gration). 



Rendiconti. 1911, Voi. XX. 1° Sem. 87 



