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v(x) = u(x) — S(x), è finita, integrabile, e soluzione dell'equazione omo- 

 genea 



J-»co 

 K(x , £) i>(£) d£ . 



K(a? , £) tf£ è limitato e integrabile e si ha 



a; 



!>(»)= ^k(»,j) k(s , r) ^ 



e nello stesso modo 



Per conseguenza ^ cost. N" +1 , per n qualsiasi, il che dice che v(x) 

 deve essere dappertutto zero per x^b. 



5. Si è dimostrato che esiste una e una sola soluzione limitata e inte- 

 grabile nel tratto x = b . Per completare il teorema bisogna dimostrare che 

 la stessa proprietà vale per il tratto x^a. Questo si fa senza difficoltà, 

 scrivendo l'equazione (1) nella forma 



u(x) = ip{x) -f r K{x,$)u{$)<%, 



J x 



che è un'equazione col limite dell'integrale finito, dove la funzione 



y( x ) = cp(x) + lim K{xJ)u($)d$ 



è conosciuta, per x^b, per mezzo della soluzione già ottenuta per x^b. 

 Le discontinuità della funzione y{x) si possono trattare facendo uso del 

 ragionamento degli articoli 3 e 4 ('), e per mezzo di questo si può dimo- 

 strare che la soluzione dell'equazione (1) può essere scritla nella forma 



k'{x , £) u{$) d£ , 



X 



una forma che vale dunque per x^a. Il nucleo di questa equazione 

 risolvente è continuo. 



f) La convergenza della serie sarà del tipo 2 1 — invece di 2N*,N<I . 



